Question

Cho tam giác ABC nhọn , H là trực tâm. Chứng minh HA+HB+HC < \(\frac{2}{3}\)( AB+AC+BC )

Answer 1

Kẻ HD//AB,HE//ACHD//AB,HE//AC

\(\Rightarrow\)AD=HE;AE=AH

Theo BĐT trong tam giác :

AH<AE+HE=AE+ADAH<AE+HE=AE+AD
 ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
\(\Rightarrow\)HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC

Chứng minh tương tự ta được:
HA+HB+HC<AB+BCHA+HB+HC<AB+BC 
HA+HB+HC<AC+BCHA+HB+HC<AC+BC
\(\Rightarrow\) 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)

\(\Rightarrow\)HA + HB + HC < \(\frac{2}{3}\)(AB+AC+BC)(ĐPCM)

-> HA+HB+HC<23(AB+AC+BC)

Answer 2

Kẻ HD//AB ,HE//AC
−>AD=HE; AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+AD
xét ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
chứng minh tương tự:
HA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BC
K/h có :

3 (HA+HB+HC) < 2 (AB+AC+BC)
-> HA+ HB + HC< \(\frac{2}{3}\)(AB+AC+BC)