Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nhung Nguyễn

Cho tam giác ABC nhọn , đường cao CK , trực tâm H . M là 1 điểm trên CK sao cho góc AMB = 90 độ . Gọi S, S1, S2 theo thứ tự lần lượt là diện tích của tam giác AMB; ABC; ABH . Cmr: S = \(\sqrt{S1.S2}\)

Nguyễn Tất Đạt
18 tháng 8 2018 lúc 20:50

A B C K M H

Với S1 = SABC và S2 = SABH . Ta có các công thức tính diện tích:

\(S_1=\frac{CK.AB}{2};\)  \(S_2=\frac{HK.AB}{2}\)

\(\Rightarrow S_1.S_2=\frac{AB^2.\left(CK.HK\right)}{4}\Rightarrow\sqrt{S_1.S_2}=\frac{AB.\sqrt{CK.HK}}{2}\)(*)

Dễ thấy: ^KBH = ^KCA (Do cùng phụ với ^BAC) => \(\Delta\)HKB ~ \(\Delta\)AKC (g.g)

\(\Rightarrow\frac{HK}{AK}=\frac{BK}{CK}\Rightarrow CK.HK=AK.BK\)

Lại có: \(\Delta\)AMB vuông ở M có đường cao MK  \(\Rightarrow AK.BK=MK^2\)(Hệ thức lg trg \(\Delta\)vuông)

Từ đó => \(CK.HK=MK^2\Leftrightarrow\sqrt{CK.HK}=MK\); thế vào (*) thì được:

\(\sqrt{S_1.S_2}=\frac{AB.MK}{2}=S_{AMB}=S\). Vậy có ĐPCM.


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Đình Mạnh
Xem chi tiết
Daco Mafoy
Xem chi tiết
Ran Mori
Xem chi tiết
SAD
Xem chi tiết
WTF
Xem chi tiết
nono
Xem chi tiết
Dương Uyển Nhi
Xem chi tiết
Dũng
Xem chi tiết
Trần Thị Diễm Quỳnh
Xem chi tiết