Xét bài toán (II): Cho tam giác A'B'C' điểm D' thuộc cạnh BC sao cho \(\frac{A'B'}{A'C'}=\frac{D'B'}{D'C'}\).
Chứng minh: A'D' là phân giác góc A' của tam giác A'B'C'
Trên tia đối tia D'A' lấy điểm E' sao cho B'E'=B'A'
=> \(\Delta B'E'A'\)cân tại B'
=> \(\widehat{B'A'D'}=\widehat{B'E'D'}\)(1)
Xét tam giác: A'D'C' và tam giác E'D'B' có: \(\frac{E'B'}{A'C'}=\frac{D'B'}{D'C'}\)và \(\widehat{C'D'A'}=\widehat{B'D'E'}\)
=> Hai tam giác trên đồng dạng
=> \(\widehat{C'A'D'}=\widehat{B'E'D'}\)(2)
Từ (1), (2) => \(\widehat{C'A'D'}=\widehat{B'A'D'}\)=> A'D' là phân giác góc A của tam giác A'B'C'
Quay lại bài toán của bạn:
Xét tam giác EFD có: M thuộc FD và \(\frac{ED}{EF}=\frac{MD}{MF}\)
theo bài toán (II) đã chứng minh ở trên ta có: EM là phân giác góc \(\widehat{FED}\)
tương tự FN là phân giác góc \(\widehat{DFE}\)
mà EM cắt FN tại H
=> H là giao ba đường phân giác trong tam giác DEF
=> DA là phân giác trong góc FDE
Như vậy cần chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC
Bài này có thể phải dùng tới định lí Menenaus hoặc Ceva. Em đã được học về các định lý này chưa?
Bài này mình cảm thấy hơi lạ. Theo chứng minh của anh/chị Nguyễn Linh Chi thì H chính là giao điểm 3 đường phân giác của ∆DEF. Nhưng nếu F,E là 2 điểm bất kỳ nằm trên AB,AC(E,F khác chân đường cao cao kẻ từ C và B) sao cho AD là phân giác góc FDE thì H vẫn là giao điểm 3 đường phân giác của ∆DEF. Nhưng khi đó thì H không phải là trực tâm của ∆ABC. Mong mọi người "khai sáng" cái đầu của mình giùm mình huhu mình không hiểu lắm về đề bài ạ :((
Có sai sót gì xin mọi người bỏ qua ạ.
Ý mình là đặt trường hợp D là chân đường cao AD k đổi của ∆ABC còn E,F là các điểm di chuyển trên AC,BA sao cho AD là phân giác FDE thì điểm đồng quy đó k chắc chắn là trưc tâm của ∆ABC
