Em đã học tứ giác nội tiếp chưa? Nếu học rồi áp dụng nó sẽ nhanh hơn.
Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
+) Ta có: AM//NH ( cùng vuông góc với AB)
AN// MH ( cùng vuông góc với AC)
=> AMHN là hình bình hành
Gọi O là giao điểm của AH và MN
=> O là trung điểm AH
+) Xét tứ giác BFHD có: \(\widehat{FBD}+\widehat{FHD}+\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=360^o\)
=> \(\widehat{FBD}+\widehat{FHD}+90^o+90^o=360^o\)
=> \(\widehat{FBD}+\widehat{FHD}=180^o\)
Mà \(\widehat{FHD}+\widehat{FHA}=180^o\)( kề bù)
=> \(\widehat{FBD}=\widehat{FHA}\)
Mặt khác\(\widehat{FHA}=\widehat{HAM}\) ( so le trong)
=> \(\widehat{FBD}=\widehat{HAM}\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{HAM}\)(1)
Xét tứ giác HDCE có:
\(\widehat{DCE}+\widehat{DHE}+\widehat{HDC}+\widehat{HEC}=360^o\)
=> \(\widehat{DCE}+\widehat{DHE}+90^o+90^o=360^o\)
=> \(\widehat{DCE}+\widehat{DHE}=180^o\)
Mà \(\widehat{AHM}+\widehat{EHD}=180^o\)( kề bù)
=> \(\widehat{AHM}=\widehat{DCE}\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{ACB}\)(2)
Từ (1), (2) => Tam giác MAH ~ Tam giác ABC
=> \(\frac{MA}{AH}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\frac{MA}{2.AO}=\frac{AB}{2BI}\Rightarrow\frac{MA}{AO}=\frac{AB}{AI}\)(3)
Từ (1), (3)=> Tam giác MAO ~ tam giác ABI
=> \(\widehat{OMA}=\widehat{IAB}\)
Ta lại có: \(\widehat{IAB}+\widehat{IAM}=\widehat{BAM}=90^o\)
=> \(\widehat{OMA}+\widehat{IAM}=90^o\)
Gọi K là giao điểm của MN và AI
=> \(\widehat{KMA}+\widehat{KAM}=90^o\)
=> \(\widehat{AKM}=90^o\)
=> AI vuông MN
cái chỗ \(\frac{MA}{2AO}\)= \(\frac{AB}{2BI}\)\(\Rightarrow\frac{MA}{AO}=\frac{AB}{AI}\)
Nhg \(\frac{MA}{2AO}\) = \(\frac{AB}{2BI}\)\(\Rightarrow\frac{MA}{AO}=\frac{AB}{BI}\)
#MÃ MÃ#
