c) Gọi K là giao điểm của EF và AH, I và G lần lượt là trung điểm của EF và AH.
Ta thấy \(\left(DKHA\right)=-1\),G là trung điểm của HA => \(DK.DG=DH.DA=DB.DC\)
=> K là trực tâm của \(\Delta\)BGC => CK vuông góc BG
Vì CK vuông góc BG, BH vuông góc AC nên \(\widehat{ACK}=\widehat{HBG}\)(1)
Ta có \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}=\widehat{APC}\)=> (P,K,E,C)cyc => \(\widehat{ACK}=\widehat{APM}=\widehat{ABM}\)(2)
Lại có \(\Delta\)BFE ~ \(\Delta\)BHA, I và G lần lượt là trung điểm của FE và HA => \(\widehat{HBG}=\widehat{FBI}\)(3)
Từ (1);(2);(3) suy ra \(\widehat{ABM}=\widehat{FBI}\), mà BF trùng BA nên B,I,M thẳng hàng hay BM chia đôi EF.
Bạn tham khảo thêm cách này:
Ta có \(\widehat{FGE}+\widehat{FDE}=2\widehat{BAC}+(180^0-2\widehat{BAC})=180^0\)
=> Tứ giác FGED nội tiếp, vì DG là phân giác góc EDF nên \(\Delta\)DFK ~ \(\Delta\)DGE (g.g)
=> \(DK.DG=DE.DF\)
Lại có \(\Delta\)DBF ~ \(\Delta\)DEC (g.g) => \(DE.DF=DB.DC\)
Suy ra \(DK.DG=DB.DC\)=> \(\Delta\)BDK ~ \(\Delta\)GDC (c.g.c)
=> \(\widehat{DBK}=\widehat{DGC}\). Mà \(\widehat{DGC}\)phụ \(\widehat{GCB}\)nên BK vuông góc GC
Vậy K là trực tâm tam giác BGC.
Cách 2: Gọi I,J lần lượt là trung điểm của EF và EH
Theo câu b: \(\Delta\)BFE ~ \(\Delta\)DHE, hai tam giác này có đường trung tuyến tương ứng BI,DJ
Suy ra \(\Delta\)BFI ~ \(\Delta\)DHJ \(\Rightarrow\widehat{FBI}=\widehat{HDJ}\)(1)
Dễ thấy HJ là đường trung bình của \(\Delta\)EHP, suy ra: \(\widehat{HDJ}=\widehat{HPE}=\widehat{ABM}\)(2)
Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{FBI}=\widehat{ABM}\), vì BF trùng BA nên BI trùng BM hay BM chia đôi EF.
cho mình hỏi tại sao DKHA = -1 vậy ?
Cả DK.DG = DH.DA = DB.DC nữa
