Question

cho tam giác ABC, M thuộc AB, N thuộc AC sao cho BM = CN ( AB < AC ). I, K, Q lần lượt là trung điểm của BC, MN, MC.

a) C/m tam giác IKQ cân

b) C/m IK tạo với các đường thẳng AB, AC các góc bằng nhau

Answer 1

a) Ta có BM = CN và I là trung điểm của BC, K là trung điểm của MN. Vậy ta có BI = CK và IM = KN.

Do đó, ta có:
IK = IM + MK = KN + MK = KM

Vậy tam giác IKQ có hai cạnh bằng nhau là IK = KQ. Do đó, tam giác IKQ là tam giác cân.

b) Ta có BI = CK và IM = KN (vì I, K lần lượt là trung điểm của BC, MN).

Giả sử giao điểm của IK và AB là D, giao điểm của IK và AC là E.

Ta có:
BD = DC (vì I là trung điểm của BC)
IM = KN (vì K là trung điểm của MN)

Do đó, theo nguyên lý đồng dạng tam giác, ta có:
∠IDB = ∠EDC (cùng là góc nội tiếp cùng cung BD)
∠IMK = ∠KNQ (cùng là góc nội tiếp cùng cung MK)

Vậy ta có:
∠IDB = ∠EDC
∠IMK = ∠KNQ

Từ đó suy ra:
∠IDB + ∠IMK = ∠EDC + ∠KNQ

Nhưng ta cũng biết rằng:
∠IDB + ∠IMK = ∠BID
∠EDC + ∠KNQ = ∠CED

Vậy ∠BID = ∠CED, tức là góc tạo bởi IK và các đường thẳng AB, AC là bằng nhau.