Question

Cho tam giác ABC. Gọi M và N là các điểm trên các cạnh AB và AC sao cho
AM > BM và AN > CN. Chứng minh rằng:
a) BC < BM + CN + MN.
b) BC nhỏ hơn chu vi của tam giác AMN.

Answer 1

a) Áp dụng BĐT tam giác vào tam giác ABC: 

Ta có: AB + AC > BC (1)

   Áp dụng BĐT tam giác vào tam giác AMN:

Ta có: AM + AN > MN (2)

Lấy (1) - (2) ta có:

(AB + AC > BC) - (AM + AN > MN)

=> AB + AC - AM - AN > BC - MN

=> (AB - AM) + (AC - AN) > BC - MN

=> MB + NC > BC - MN

=> MB + NC + MN > BC (đpcm)

b) Ta có: AM > BM và AN > CN (đề bài)

     Mà: BC < MN + NC + MB (CMT)

=> BC < MN + AM + AN

Mà MN, AM, AN là 3 cạnh của tam giác AMN

=> BC nhỏ hơn chu vi của tam giác AMN (đpcm)

Answer 2

a) Áp dụng BĐT tam giác vào tam giác ABC: 

Ta có: AB + AC > BC (1)

   Áp dụng BĐT tam giác vào tam giác AMN:

Ta có: AM + AN > MN (2)

Lấy (1) - (2) ta có:

(AB + AC > BC) - (AM + AN > MN)

=> AB + AC - AM - AN > BC - MN

=> (AB - AM) + (AC - AN) > BC - MN

=> MB + NC > BC - MN

=> MB + NC + MN > BC (đpcm)

b) Ta có: AM > BM và AN > CN (đề bài)

     Mà: BC < MN + NC + MB (CMT)

=> BC < MN + AM + AN

Mà MN, AM, AN là 3 cạnh của tam giác AMN

=> BC nhỏ hơn chu vi của tam giác AMN (đpcm)

 

Answer 3

a) Áp dụng BĐT tam giác vào tam giác ABC: 

Ta có: AB + AC > BC (1)

   Áp dụng BĐT tam giác vào tam giác AMN:

Ta có: AM + AN > MN (2)

Lấy (1) - (2) ta có:

(AB + AC > BC) - (AM + AN > MN)

=> AB + AC - AM - AN > BC - MN

=> (AB - AM) + (AC - AN) > BC - MN

=> MB + NC > BC - MN

=> MB + NC + MN > BC (đpcm)

b) Ta có: AM > BM và AN > CN (đề bài)

     Mà: BC < MN + NC + MB (CMT)

=> BC < MN + AM + AN

Mà MN, AM, AN là 3 cạnh của tam giác AMN

=> BC nhỏ hơn chu vi của tam giác AMN (đpcm)