Question

Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Trên tia đối của tia MB, NC và lấy tương ứng 2 điểm D và E sao cho MB = MD ; NC = NE. Chứng minh rằng :

  a. AD = AE

  b. Ba điểm A, E, D thẳng hàng. 

       ( Không cần vẽ hình ) 

Answer 1

a) Xét \(\Delta MBC\)và \(\Delta MDA\)có :

MB = MD(gt)

\(\widehat{BMC}=\widehat{DMA}\)(hai góc đối đỉnh)

MA = MC(gt)

=> \(\Delta MBC=\Delta MDA\left(c-g-c\right)\)

=> AD = BC(hai cạnh tương ứng)               (1)

Xét \(\Delta MBC\)và \(\Delta NAE\)có :

MB = NA(gt)

\(\widehat{BMC}=\widehat{AME}\)(hai góc đối đỉnh)

MC = NE(gt)

=> \(\Delta MBC=\Delta NAE\left(c-g-c\right)\)

=> AE = BC  (hai cạnh tương ứng)                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra : AD = AE

b) Vì \(\Delta MBC=\Delta MDA\)nên \(\widehat{MCB}=\widehat{MAD}\)

Hai đường thẳng AD và BC tạo với AC hai góc so le trong bằng nhau \(\widehat{MCB}=\widehat{MAD}\)

=> AD//BC 

Vì \(\Delta NAE=\Delta NBC\)nên \(\widehat{NAE}=\widehat{NBC}\)

Hai đường thẳng AE và BC tạo với AB hai góc so le trong bằng nhau  \(\widehat{NAE}=\widehat{NBC}\)

=> AE//BC

Từ điểm A có hai đường thẳng AD và AE cùng song song với BC,theo tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song thì đường thẳng AD trùng với đường thẳng AE hay ba điểm A,E,D thẳng hàng.