Question

Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường phân giác của góc AIB cắt
cạnh AB ở M. Đường phân giác của góc AIC cắt cạnh AC ở N.
a) Chứng minh rằng MM // BC.
b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện gì để có MN = AI?
c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện gì để có MN vuông góc với AI?

Answer 1

tự kẻ hình ná

a) tam giác ABM có: AM/BM=AI/BI ( theo tính chất đường pg trong tam giác)

tương tự, ta có AN/NC=AI/CI

mà CI=BI=> AM/MB=AN/NC=> MN//BC ( định lý talet đảo)

b) ta có IM là pg của AIB => BIM=MIA

IN là pg của AIC => CIN=NIA

=> BIC=BIM+MIA+AIN+CIN=180 độ=> MIA+NIA=90 độ=> IM vuông góc với IN

để AI=MN=> ANIM là hình thang cân=> AN//IM mà IM vuông góc IN

=> ANI=90 độ mà ANI=NAM ( ANIM thang cân)=> BAC=90 độ

=> tam giác ABC vuông tại A thì AI=MN

c) Để MN vuông góc với AI=> ANIM là hình thoi mà MAN=90 độ=> ANIM là hình vuông 

=> MIA=NIA= 45 độ ( AI thành đpg của MIN)

=> BIM+MIA=2*45 độ=90 độ=> AI vuông góc với BC tại trung điểm I=> AI là trung trực=> tam giác ABC cânA

=> tam giác ABC vuông cân tại A thì AI vuông góc MN