Question

Cho tam giác ABC. gọi H,G,O theo thứ tự là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác. tia AG cắt BC ở M. I là trung điểm của AG. K là trung điểm của GH
a) OM= \(\frac{1}{2}\) AH
b) tam giác IGK = tam giác MOG
c) 3 điểm H,G,O thẳng hàng
d) GH = 2GO

Answer 1

) Gọi M là trung điểm BC. Lấy điểm D sao cho O là trung điểm CD

Xét Δ BCD có M là trung điểm BC, O là trung điểm CD  OM là đường trung bình của Δ BCD

 OM=12DB và OM // DB 

mà OM⊥BC ( OM là đường trung trực của BC )  DB⊥BC

mà AH⊥BC( AH là đường cao của ΔABC )  AH // DB

Xét ΔABH và ΔBAD có

HABˆ=DBAˆ( 2 góc so le trong do AH // DB )

AB chung

ABHˆ=BADˆ( 2 góc so le trong do AH // DB )


ΔABH=ΔBAD( g-c-g )

 AH = BD mà OM=12DB  OM=12AH 

 AH = 2 OM ( đpcm )

b) Gọi G' là giao điển của AM và OH, P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A

Xét Δ AG'H có P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A  PQ là đường trung bình của \large\Delta AG'H 

PQ=12AH và PQ // AH

Do PQ=12AH mà OM=12AH PQ = OM

Do AH // OM ( cùng ⊥BC ) mà PQ // AH PQ // OM

Xét ΔPQG′ và ΔOMG′ có

PQG′ˆ=OMG′ˆ( 2 góc so le trong do PQ // OM)

PQ = OM (c/m trên )

QPG′ˆ=MOG′ˆ ( 2 góc so le trong do PQ //OM )


 ΔPQG′=ΔOMG′( g-c-g )

 G'Q = G'M và G'P = G'O

Ta có G'Q = G'M mà G′Q=12G′A( Q là trung điểm G'A )  G′M=12G′Amà G'M + G'A = AM 

 G′A=23AM mà AM là trung tuyến của ΔABC

 G' là trọng tâm của ΔABC ,mà G là trọng tâm của ΔABC G′≡ G

mà G′∈OH G∈OH  O, H, G thẳng hàng ( đpcm )

Hên xui nghe bạn ^ ^