Question

Cho tam giác ABC. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm P sao cho PF = BF. Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE = CE.

a.Chứng minh: AP = AQ

b.Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng.

c.Chứng minh BQ // AC và CP // AB 

d.Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB. Chứng minh rằng chu vi PQR bằng hai lần chu vi ABC.

e.Ba đường thẳng AR, BP, CQ đồng quy.

Answer 1

a) Xét tam giác AEQ và tam giác BEC có
EQ=EC
AEQ=BEC đối đỉnh
EA=EB
=> tam giác AEQ = tam giác BEC(c.g.g).
=> AQ=BC(cạnh tuognư ứng). (1)
Xét Tam giác AFP và tam giác CFB có
AF=CF
AFP=CFB đối đỉnh
FB=FP
=> tam giác AFB = tam giác CFB(c.g.c)
=> AP = BC (2)
từ (1) và (2) suy ra AP=AQ

Answer 2

c)
xét tam giác BEQ và tam giác AEC có
EQ=EC
BEQ=AEC đối đỉnh
EB=EA
=> tam giác BEQ = tam giác AEC(c.g.c)
=> BQE=AEC (góc tương ứng) 
mà chúng ở vị trí so le trong nên BQ//AC.
xét tam giác PFC và BFA có:
FA=FC
AFB=CFP
BF=PF
=> tam giác PFC = BFA (c.g.c)
=> FAB = FCB(góc tương ứng)
mà chúng ở vị trí số le trong nên
CP//AB

Answer 3

d) +) Vì AQ//BC,AP//BC
Theo tiên đề Ơ-clit
=> ba điểm Q,A,P thẳng hàng
+) Vì BC = AQ = AP nên BC = 1/2 QP
+) Vì AC = BQ(cmt); AC = BR(cmt)
nên AC = 1/2 QR
+) Vì theo đề cho ba điểm Q,B,R đã thằng hàng nên không cần chứng minh. ba điểm P,C,R cũng vậy.
+) Vì AB = CP(cmt); AB = RC(cmt) nên AB= 1/2 RP
=> chu vi ΔPQR là: 
PQ + QR + PR
= 1/2BC + 1/2AC + 1/2AB
= 1/2(AB + BC + AC)
= 1/2 chu vi ABC (đpcm)

Answer 4

e) Xét  ΔPQR có :
BQ = BR(cùng = AC)
CR = CP(cùng = AB)
AQ = AP(cmt) và Q, A, P thẳng hàng 
=> B,C và A lần lượt là trung điểm của QR, RP và PQ.
Gọi giao điểm của QC và BP là H
ΔPQR có QC, PB và RA là các đường trung tuyến giao nhau tại H
=> H là trọng tâm
Vậy 3 đường này đồng quy tại 1 điểm.