Question

Cho tam giác ABC đường trung tuyến AD.Lấy điểm O nằm giữa A và D.Qua O vẽ đường thẳng d cắt các tia AB,AC lần lượt tại E và F . Xác định vị trí của O để BE/AE + CF/AF = 1 

Answer 1

Kẻ \(AA';BB';CC'⊥d\); ta có  AA' // BB' // CC'.

Có AA' // BB' \(\Rightarrow\frac{BE}{AE}=\frac{BB'}{AA'}\)( Định lý Ta-lét )

Tương tự; lại có \(\frac{CF}{AF}=\frac{CC'}{AA'}\)

\(\Rightarrow\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{BB'}{AA'}+\frac{CC'}{AA'}=1\)

\(\Rightarrow\frac{BB'+CC'}{AA'}=1\)

\(\Rightarrow AA'=BB'+CC'\)

Xét hình thang BB'C'C có DD' // BB' // CC' và D là trung điểm BC nên DD' là đường trung bình hình thang.

\(\Rightarrow DD'=\frac{BB'+CC'}{2}=\frac{AA'}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{AA'}{DD'}=2\)

Có AA' // DD' nên \(\frac{AA'}{DD'}=\frac{AO}{OD}=2\)

Suy ra O là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy ...