Question

Cho tam giác ABC. Dựng ra ngoài tam giác này các tam giác đều ABD, BCE, CAF. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác DEF trùng với trọng tâm của tam giác ABC.

Answer 1

Vẽ hình bình hành DAFH.

Gọi N là giao điểm của hai đường chéo DF và AH, M là giao điểm của EH và BC

Ta có NA = NH, ND = NF

Ta đặt ^ADH = ^AFH = \(\alpha\)thì ^BDH = ^HFC = \(\alpha\)+ 60⁰

^DAF = 180⁰ -\(\alpha\)

^BAC = 360⁰ - ^BAD - ^CAF - ^DAF = 360⁰ - 60⁰ - 60⁰ - (180⁰ - \(\alpha\)) = \(\alpha\)+ 60⁰

\(\Delta\)BDH và \(\Delta\)HFC có: BD = HF (= AD); ^BDH = ^HFC (cmt); DH = FC (= AF)

Do đó \(\Delta\)BDH = \(\Delta\)HFC (c.g.c) => HB = HC                                                           (1)

Chứng minh tương tự, ta được \(\Delta\)BAC = \(\Delta\)HFC (c.g.c) => BC = HC                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra HB = HC = BC

Tứ giác BHCE có các cặp cạnh đối bằng nhau  (cùng bằng BC) nên là hình bình hành => MB = MC và MH = ME

Xét ∆AEH có AM và AN là hai đường trung tuyến nên giao điểm G của chúng là trọng tâm => EG = 2/₃EN và AG = 2/₃AM.Xét ∆ABC có AM là đường trung tuyến mà AG = 2/₃AM nên G là trọng tâm của ∆ABCXét ∆EDF có EN là đường trung tuyến mà EG = 2/₃EN nên G là trọng tâm của∆EDF

Vậy ∆ABC và ∆EDF có cùng trọng tâm G

Answer 2

Dòng 12 là EN chứ ko pk AN nha, đánh nhầm