Cho tam giác ABC đều. M là điểm bất kì thuộc BC,E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC.
a.Chứng minh tam giác EBM đồng dạng với tam giác FCM
b.Vẽ đường cao AD của tam giác ABC, gọi I là trung điểm của AM.Chứng minh góc IED bằng góc IDE
c.Chứng minh: Tứ giác DEIF là hình thoi
d.Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh ID, EF, MH đồng quy
Các tam giác vuông AEM và ADM có EI và DI là trung tuyến ứng với AM nên
=> EI = DI ( = ½ AM)
=> Tam giác EID cân tại I
Lại có các tam giác AEI và ADI cân tại I nên:
^EIM = 2^EAI và ^MID = 2^IAD
=> ^EID = ^EIM + ^MID = 2(^EAI + ^IAD) = 2^EAD = 2. 30 = 60 độ
(Vì AD là đường cao nên là phan giác ^A)
Tam giác EID cân lại có ^EID = 60 độ nên đều
Tương tự tam giác IFD đều nên: EI = IF = FD = DE => Tứ giác DEIF là hình thoi
b) Gọi O là giao EF và DI và K là trung điểm AH, ta có IK là trng bình tam giác AMH và OH là trung bình tam giác AID.
=> HO//IK và HM//IK
=> Tia HO và HM trùng nhau hay M, H, O thẳng hàng => MH, ID, EF đồng quy tại O
