Xét △\(DEF\) và △ \(FBD\) có :
\(\widehat{D_1}\)\(=\)\(\widehat{F_2}\) ( hai góc so le trong )
\(DF\)là cạnh chung .
\(\widehat{F_2}\)\(=\)\(\widehat{D_2}\)( hai góc so le trong )
Vậy △\(DEF\)\(=\)△\(FBD\)( g.c.g )
Suy ra : \(EF=BD\)( hai cạnh tương ứng )
Mà \(AD=BD\)nên \(EF=AD\)
Ta có : \(\widehat{F_3}\)\(=\)\(\widehat{B}\)( hai góc đồng vị )
\(\widehat{D_3}\)\(=\)\(\widehat{B}\)( hai góc đồng vị )
\(\Rightarrow\widehat{D_3}\)\(=\)\(\widehat{F_3}\)\(\left(=\widehat{B}\right)\)
Xét △\(ADE\)và △\(EFC\)có :
\(\widehat{D_3}\)\(=\)\(F_3\)( cmt )
\(\widehat{A}\)\(=\)\(\widehat{E_1}\) ( hai góc đồng vị )
\(AD=EF\)( cmt )
\(\Rightarrow\)△\(ADE\)\(=\)△\(EFC\)( g.c.g ) ( 1 )
Tương tự ta chứng minh được △\(AFC\)\(=\)△\(DBF\)( g.c.g ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : △\(ADE\)\(=\)△\(EFC\)\(=\)△\(DBF\)( 3 )
+ Nối D với F
Vì DE // BC
=> DE // BF ( B,F,C thẳng hàng)
=> ^D1 = ^F1 ( so le trong)
Vì AB // EF (gt)
=> BD // EF ( A,D,B thẳng hàng)
=>^D2 = ^F2 (so le trong)
Xét ∆BDF,∆EDF có :
^D2 = ^F2 (cmt)
^F1 = ^D1 (cmt)
DF chung
Do đó ∆BDF = ∆EFD (g-c-g)
=> BD = EF ( cạnh tương ứng)
Mà AD = BD (D là tđ AB)
=> AD = EF
2) AB // EF (gt)
=> ^DAE = ^E1 (đồng vị)
DE // BC
=> ^D3 = ^DBF (đồng vị)
Mà ^DBF = ^F3 (AB // EF)
=> ^D3 = ^F3
Xét ∆ADE, ∆EFC có :
^DAE = ^E1 (cmt)
^D3 =^F3 (cmt)
AD = EF (c1)
Do đó ∆ADE = ∆EFC (g-c-g)
=> AE = EC