Question

Cho tam giác ABC. D là trung điểm của AB. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC ở E. Đth qua E // AB cắt BC ở F

CMR : 1. AD = EF

            2. TG ADE = TG EFC

Answer 1

Xét △\(DEF\)  và △ \(FBD\)  có :

\(\widehat{D_1}\)\(=\)\(\widehat{F_2}\) ( hai góc so le trong )

\(DF\)là cạnh chung .

\(\widehat{F_2}\)\(=\)\(\widehat{D_2}\)( hai góc so le trong )

Vậy △\(DEF\)\(=\)△\(FBD\)( g.c.g )

Suy ra : \(EF=BD\)( hai cạnh tương ứng )

Mà \(AD=BD\)nên \(EF=AD\)

Ta có : \(\widehat{F_3}\)\(=\)\(\widehat{B}\)( hai góc đồng vị )

            \(\widehat{D_3}\)\(=\)\(\widehat{B}\)( hai góc đồng vị )

\(\Rightarrow\widehat{D_3}\)\(=\)\(\widehat{F_3}\)\(\left(=\widehat{B}\right)\)

Xét △\(ADE\)và △\(EFC\)có :
\(\widehat{D_3}\)\(=\)\(F_3\)( cmt )

\(\widehat{A}\)\(=\)\(\widehat{E_1}\) ( hai góc đồng vị )

\(AD=EF\)( cmt )

\(\Rightarrow\)△\(ADE\)\(=\)△\(EFC\)( g.c.g ) ( 1 )

Tương tự ta chứng minh được △\(AFC\)\(=\)△\(DBF\)( g.c.g ) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : △\(ADE\)\(=\)△\(EFC\)\(=\)△\(DBF\)( 3 )

Answer 2

+ Nối D với F

Vì DE // BC

=> DE // BF ( B,F,C thẳng hàng)

=> ^D₁ = ^F₁ ( so le trong)

Vì AB // EF (gt)

=> BD // EF ( A,D,B thẳng hàng)

=>^D₂ = ^F₂ (so le trong)

Xét ∆BDF,∆EDF có :

^D₂ = ^F₂ (cmt)

^F₁ = ^D₁ (cmt)

DF chung

Do đó ∆BDF = ∆EFD (g-c-g)

=> BD = EF ( cạnh tương ứng)

Mà AD = BD (D là tđ AB)

=> AD = EF

2) AB // EF (gt)

=> ^DAE = ^E₁ (đồng vị)

DE // BC

=> ^D3   = ^DBF (đồng vị)

Mà ^DBF = ^F₃ (AB // EF)

=> ^D₃ = ^F₃

Xét ∆ADE, ∆EFC có :

^DAE = ^E₁ (cmt)

^D₃ =^F₃ (cmt)

AD = EF (c1)

Do đó ∆ADE = ∆EFC (g-c-g)

=> AE = EC