Question

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho BD=2AD. Gọi I là giao điểm của CD và AM. CMR I là trung điểm của AM và CI=3DI

Answer 1

Lời giải:
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABM$ và $D,I,C$ thẳng hàng:
$\frac{AD}{DB}.\frac{IM}{IA}.\frac{CB}{CM}=1$

$\Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{IM}{IA}.2=1$

$\Rightarrow \frac{IM}{IA}=1\Rightarrow IM=IA$ hay $I$ là trung điểm của $AM$.

Tiếp tục áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $CBD$ có $I,A,M$ thẳng hàng:

$\frac{MC}{MB}.\frac{ID}{IC}.\frac{AB}{AD}=1$
$\Rightarrow 1.\frac{ID}{IC}.3=1$

$\Rightarrow \frac{ID}{IC}=\frac{1}{3}\Rightarrow CI=3DI$

Answer 2

Hình vẽ: