cho tam giác ABC có góc B và góc C < 900 ; trên tia đối AB lấy D sao cho AB = AD. Trên tia đối AC lấy E sao cho AE = AC.
a) cm BE = CD.
b) gọi M là trung điểm BE ,N là trung điểm CD. cm M , A , N thẳng hàng.
c) lấy Ax là tia bất kì nằm giữa AB và AC , H, K là hình chiếu của B, C trên Ax . cm BH + CK \(\le\)BC.
d) tìm vị trí Ax để BH + CK lớn nhất.
a) xét \(\Delta EAB\)và \(\Delta CAD\)có:
\(\hept{\begin{cases}AE=AC\left(gt\right)\\\widehat{EAB}=\widehat{DAC}\left(đđ\right)\\AB=AD\left(gt\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta EAB=\Delta CAD\)(c - g - c)
\(\Rightarrow BE=DC\)( 2 cạnh tương ứng)
b) có \(\hept{\begin{cases}BE=2MB\left(gt\right)\\CD=2ND\left(gt\right)\\BE=CD\left(cmt\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow MB=ND\)
\(\Delta EAB=\Delta CAD\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{D}=\widehat{ABE}\)( 2 cạnh tương ứng )
xét \(\Delta DAN\)và\(\Delta BAM\)có
\(\hept{\begin{cases}ND=MB\left(cmt\right)\\\widehat{D}=\widehat{ABM}\left(cmt\right)\\AD=AB\left(gt\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta DAN=\Delta BAM\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\)AM = AN ( 2 cạnh tương ứng )
\(\widehat{DAN}=\widehat{MAB}\)( 2 cạnh tương ứng )
mà \(\widehat{DAN}+\widehat{NAB}=180^o\left(kb\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MAB}+\widehat{NAB}=180^o\Rightarrow\widehat{MAN}=180^o\)
\(\Rightarrow\)M, N, A thẳng hàng
c) gọi BC cắt Ax tại P
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BH\le BP\left(cgv\le ch\right)\\CK\le CP\left(cgv\le ch\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow BH+CK\le BP+CP\)
\(\Rightarrow BH+CK\le BC\)
d) có\(BH+CK\le BC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow GTLN\)của \(BH+CK=BC\)
dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow BH=BP;CK=CP\)
\(\Leftrightarrow H\equiv P;K\equiv P\)
\(\Leftrightarrow Ax\perp BC\)
\(\Rightarrow BH+CK\)lớn nhất
