Question

Cho tam giác ABC có góc A<90 độ, AH là đường cao của tam giác ABC. Lấy E,F đối xứng với H lần lượt qua AB,AC.Đoạn thẳng EF cắt AB, AC tại M,N.

a, Chứng minh:AE=AF

b,Chứng minh: HA là phân giác của góc MHN

c, Chứng minh: AH,BN,CM đồng quy tại 1 điểm

Answer 1

Bài làm

a) Vì E,F lần lượt  đối xứng với H qua AB,AC. Nên AB lần lượt là trung điểm của của EH và HF

=> AE = AH , AH = AF

=> AE = AF

c) Vì AE = AF => Tam giác ABC cân tại A => \(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}\)   ^{_{( 1 )}} 

Xét tam giác AME và tam giác AMH có:

AM chung

AE = AH ( cmt )

ME = MH ( AB là đường trung trực của EH )

=> tam giác AME = tam giác AMH ( c.c.c )

=> \(\widehat{AEM}=\widehat{AHM}\)       _{^{( 2 )}} 

Xét tam giác ANH và tam giác ANF có:

AN chung 

AH = AF ( cmt )

NH = NF ( AC là trung trực của HF )

=> tam giác ANH = tam giác ANF ( c.c.c )

=> \(\widehat{AHN}=\widehat{AFN}\)           _{^{( 3 )}} 

Từ _{^{( 1 )}} ; _{^{( 2 )}} và _{^{( 3 )}} => \(\widehat{MHA}=\widehat{NHA}\)

=> HA là phân giác của \(\widehat{MHN}\)

c) Vì NH = NF nên tam giác NHF cân tại N

=> NC là phân giác của \(\widehat{HNF}\)

Xét tam giác EMH có: 

EM = MH

=> Tam giác EMH cân tại M 

=> MB là phân giác của \(\widehat{EMH}\)

Xét tam giác MNH có:

HA là phân giác của \(\widehat{MHN}\)

Mà BH  |  AH

=> BH là tia phân giác ngoài của tam giác MNH tại H

     NC là tia phân giác ngoài của tam giác MNH tại H

Xét tam giác MNH có MC và HC là hai tia phân giác ngoài của tam giác MNH

=> MC là tia phân giác của góc trong tam giác MNH

=> \(\widehat{BMC}=\frac{\widehat{EMH}+\widehat{HMN}}{2}=90^0\)

Ta có \(\widehat{BMH}+\widehat{HMC}=90^0;\widehat{BMH}+\widehat{MHE}=90^0\)

=> \(\widehat{HMC}=\widehat{EMH}\)

=> CM // EH

Chứng minh tương tự BN // HF

Do đó: AH, BN, CM đồng quy tại một điểm. 

# Học tốt #

Answer 2

Cảm ơn nhé

Answer 3

Bài làm

a) Vì E,F lần lượt  đối xứng với H qua AB,AC. Nên AB lần lượt là trung điểm của của EH và HF

=> AE = AH , AH = AF

=> AE = AF

c) Vì AE = AF => Tam giác ABC cân tại A => \(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}\)   ^{_{( 1 )}} 

Xét tam giác AME và tam giác AMH có:

AM chung

AE = AH ( cmt )

ME = MH ( AB là đường trung trực của EH )

=> tam giác AME = tam giác AMH ( c.c.c )

=> \(\widehat{AEM}=\widehat{AHM}\)       _{^{( 2 )}} 

Xét tam giác ANH và tam giác ANF có:

AN chung 

AH = AF ( cmt )

NH = NF ( AC là trung trực của HF )

=> tam giác ANH = tam giác ANF ( c.c.c )

=> \(\widehat{AHN}=\widehat{AFN}\)           _{^{( 3 )}} 

Từ _{^{( 1 )}} ; _{^{( 2 )}} và _{^{( 3 )}} => \(\widehat{MHA}=\widehat{NHA}\)

=> HA là phân giác của \(\widehat{MHN}\)

c) Vì NH = NF nên tam giác NHF cân tại N

=> NC là phân giác của \(\widehat{HNF}\)

Xét tam giác EMH có: 

EM = MH

=> Tam giác EMH cân tại M 

=> MB là phân giác của \(\widehat{EMH}\)

Xét tam giác MNH có:

HA là phân giác của \(\widehat{MHN}\)

Mà BH  |  AH

=> BH là tia phân giác ngoài của tam giác MNH tại H

     NC là tia phân giác ngoài của tam giác MNH tại H

Xét tam giác MNH có MC và HC là hai tia phân giác ngoài của tam giác MNH

=> MC là tia phân giác của góc trong tam giác MNH

=> \(\widehat{BMC}=\frac{\widehat{EMH}+\widehat{HMN}}{2}=90^0\)

Ta có \(\widehat{BMH}+\widehat{HMC}=90^0;\widehat{BMH}+\widehat{MHE}=90^0\)

=> \(\widehat{HMC}=\widehat{EMH}\)

=> CM // EH

Chứng minh tương tự BN // HF

Do đó: AH, BN, CM đồng quy tại một điểm. 

# Học tốt #

Answer 4

Tia phân giác ngoài là gì

Answer 5

Bài làm

Tia phân giác ngoài, bn có thể hiểu là tia phân giác của góc ngoài một tam giác. Ví dụ, Tam giác ABC có góc ACD là góc ngoài của tam giác ABC. DI là tia phân giác của góc ACD. 

# Học tốt #

Answer 6

Tại sao từ HA là phân giác góc MHN và BH vuông góc với AH lại suy ra BH là phân giác ngoài