Question

Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90 độ.Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân đỉnh A là MAB và NAC.Chứng minh

a, MC=NB

b, MC vuông góc NC

c, Giả sử tam giác ABC đều cạnh 4cm.Tính MB,NC và chứng minh MN//NC

 

Answer 1

a, Ta có: MAB + BAC = MAC  và  NAC + CAB = NAB

Mà MAB = NAC = 90^o

=> MAC = NAB

Vì △MAB vuông cân tại A => AM = AB và AMB = MBA = 45^o

Vì △NAC vuông cân tại A => AN = AC và ANC = NCA = 45^o

Xét △MAC và △BAN

Có: AM = AB (cmt)

    MAC = BAN (cmt)

       AC = AN (cmt)

=> △MAC = △BAN (c.g.c)

=> MC = BN (2 cạnh tương ứng)

b, Sửa đề thành MC ⊥ BN

Gọi MC ∩ BN = {O}

Vì △MAC = △BAN (cmt) => AMC = ABN (2 góc tương ứng)

Xét △OMB có: OMB + MBO + MOB = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

=> OMB + MBA + ABO + MOB = 180^o 

=> OMB + 45^o + AMO + MOB = 180^o 

=> (OMB + AMO) + MOB = 135^o

=> AMB + MOB = 135^o 

=> 45^o + MOB = 135^o

=> MOB = 90^o

=> MO ⊥ OB

Mà MC ∩ BN = {O}

=> MC ⊥ BN

c, Vì △ABC đều => AB = AC = BC (1)  và ABC = ACB = CAB = 60^o

Vì △MAB vuông cân tại A => AM = AB (2)  và AMB = MBA = 45^o

Vì △NAC vuông cân tại A => AN = AC (3)   và ANC = NCA = 45^o

Từ (1), (2), (3) => AB = AC = BC = AM = AN = 4 cm

Xét △AMB vuông tại A có: MB² = AM² + AB² 

=> MB² = 4² + 4²   => MB² = 16 + 16  => MB² = 32  => MB = 4√2 (cm)

Xét △ANC vuông tại A có: NC² = AN² + AC² 

=> NC² = 4² + 4²   => NC² = 16 + 16  => NC² = 32  => NC = 4√2 (cm)

Ta có: MAN + MAB + BAC + CAN = 360^o

=> MAN + 90^o + 60^o + 90^o = 360^o 

=> MAN = 120^o 

Xét △AMN có: AM = AN (cmt) => △AMN cân tại A => AMN = (180^o - MAN) : 2 => AMN = (180^o - 120^o) : 2 = 60^o : 2 = 30^o 

Ta có: NMB = AMN + AMB = 30^o + 45^o = 75^o   

Và MBC = MBA + ABC = 45^o + 60^o = 105^o 

Lại có: NMB + MBC = 75^o + 105^o = 180^o 

Mà 2 góc này nằm ở vị trí trong cùng phía 

=> MN // NC (dhnb)