TH1:O và H nằm cùng phía với AC
Gọi I là giao điểm của AH và BN
M là giao điểm của AB và CO
Kẻ AK \(\perp\) MC cắt BC tại H'
Bài toán có 2 trường hợp
|
 |
| O và H nằm cùng phía với AC | O và H nằm khác phía với AC |
Bài toán có nhiều lời giải, chứng minh , , ...
Bài toán có 2 trường hợp
|
|
| O và H nằm cùng phía với AC | O và H nằm khác phía với AC |
Bài toán có nhiều lời giải, chứng minh , , ...
Trường hợp 1: O và H nằm cùng phía so với AC
- O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
=> O là giao của 3 đường phân giác trong tam giác ABC
=> AO phân giác \(\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{OAC}\left(1\right)\)
- \(\Delta BAH\) có BN vừa là đường phân giác góc B, vừa vuông góc với AH (gt)
=> \(\Delta BAH\) cân tại B => BA=BH
- \(\Delta OAB\) và \(\Delta OBH\) có:
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) ( BN phân giác góc B)
OB chung
BA=BH (cmt)
=> \(\Delta OAB\) = \(\Delta OBH\) (c-g-c)
=> \(\widehat{A_1}=\widehat{H_1}\) ( góc tương ứng) (2)
- Từ (1) và (2) => \(\widehat{OAC}=\widehat{H_1}\) (3)
mà \(\widehat{H_1}+\widehat{OHC}=180^0\) ( kề bù ) (4)
- Từ (3) và (4) => \(\widehat{OAC}+\widehat{OHC}=180^0\)
=> A, O,H,C cùng nằm trên 1 đường tròn
Trường hợp 2: O và H nằm khác phía so với AC
- Gọi F là giao của BN và AH
- O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
=> O là giao của 3 đường phân giác trong tam giác ABC
=> \(\widehat{A_1}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}\) ; \(\widehat{B_1}=\dfrac{\widehat{B}}{2}\) ; \(\widehat{C_1}=\dfrac{\widehat{BCA}}{2}\)
- \(\widehat{C_1}=\dfrac{\widehat{BCA}}{2}=\dfrac{180^0-\left(\widehat{BAC}+\widehat{B}\right)}{2}=90^0-\left(\dfrac{\widehat{BAC}}{2}+\dfrac{\widehat{B}}{2}\right)=90^0-\left(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}\right)\left(5\right)\)
- \(\Delta BAF,\widehat{F_1}=90^0\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{B_1}+\widehat{BAF}=90^0\) ( tổng 3 góc trong tam giác)
hay \(\widehat{B_1}+\widehat{A_1}+\widehat{OAF}=90^0\Rightarrow\widehat{OAF}=90^0-\left(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}\right)\left(6\right)\)
- Từ (5) và ( 6) => \(\widehat{OAF}=\widehat{C_1}\left(7\right)\)
\(\widehat{OCH}+\widehat{C_1}=180^0\left(8\right)\) (kề bù)
- Từ (7) và (8) => \(\widehat{OCH}+\widehat{OAF}=180^0\)
=> A, O,H,C cùng nằm trên 1 đường tròn
Ta có: O là tâm đt nội tiếp △ ABC
=> O là giao của 3 đường phân giác △ABC
<=> OA là phân giác góc BAC
<=> BAO=OAC=BAC/2 (1)
Lại có: BN là phân giác góc ABC và vuông góc với AH (gt)
=>△ ABH cân tại B
<=> AB=BH
Xét △ABO và △BOH có:
OB chung
AB=BH(cmt) =>△ABO ∞ △HBO(c-g-c)
ABO=OBH (gt)
=> góc BAO= góc OHB ( góc tương ứng) (2)
Từ (1) ;(2) => góc OAC= góc OHB
Mà OHB+OHC=180 (Kề bù)
=>OHC+OAC=180
<=> tứ giác ACHO là tứ giác nội tiếp (t/c tg nt)
<=> O,C,H,A cùng thuộc đt đk OC
Gọi M là giao của AC với BN
O là tâm đt nội tiếp △ABC
=> Olà giao của 3 đg phân giác của △ ABC
=> A1=BAC/2
C1= ACB/2
B1=ABC/2
=> C1= (180-(BAC+AB) ) /2 = 90- (A1+B1) (3)
Mặt khác : △ ABF có góc F =90
BAF +B1+F= 180( tổng 3 góc △ )
=> BAF +B1=90
hay A1+B1+ BAF= 90
=> BAF= 90-(A1+B1) (4)
Từ (3) ;(4) => C1= BAF
Mà C1+ OCH= 180 (kề bù)
=> BAF+ OCH =180
=> tứ giác AOCH là tứ giác nội tiếp (t/c tg nt)
=> A,O,H,C cùng thuộc 1đt đk OH
Xét (O) có :
-Góc AOC= Góc CHA ( là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOHC)
Mà hai góc này có đỉnh O và H là hai đỉnh kề nhau
=>O,C cùng thuộc một đường tròn (1)
-Vì góc OAH và góc OCH là hai góc nội tiếp cùng chắn cung OH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOHC)
=>Góc OAH= Góc OCH (2)
Tứ(1),(2)=> Tứ giác AOHC nội tiếp đường tròn
=> 4 điểm A,O,H,C cùng thuộc một đường thẳng
