Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$ và cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác $AEHF$ nội tiếp.
b) Bốn điểm $B$, $C$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.
c) $AE.AC = AH.AD$ và $AD.BC = BE.AC$.
d) $H$ và $M$ đối xứng nhau qua $BC$.
e) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Nối $H$ với $E$ cắt đường tròn đường kính $BC$ tại điểm thứ hai $F$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $H$, $B$, $A$, $E$ cùng nằm trên một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ấy.
b) Chứng minh \(DF\perp BC.\)
c) Gọi $I$ là điểm đối xứng với $E$ qua $BC$. Chứng minh rằng $HD.HI = HE.HF$.
Cho nửa đường tròn đường kính $MN$ và điểm $P$ bất kỳ thuộc nửa đường tròn ($P$ khác $M$ và $N$). Trên nửa mặt phẳng bờ $MN$ chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến $Mx$. Tia $NP$ cắt $Mx$ tại $I$. Tia phân giác của \(\widehat{IMP}\) cắt nửa đường tròn tại $J$ và cắt tia $NP$ tại $H$. Tia $NJ$ giao tia $Mx$ tại $G$ và giao $MP$ tại $K$.
a) Chứng minh tứ giác $JHPK$ nội tiếp.
b) Chứng minh $IM^2 = IP.IN$.
c) Chứng minh tam giác $MNH$ cân.
d) Chứng minh tứ giác $MKHG$ là hình thoi.
e) Tìm vị trí điểm $P$ sao cho tứ giác $IHKM$ nội tiếp được.
Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB > CD$; $AB//CD$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau tại $I$. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.
a) Chứng minh tứ giác $AIDE$ nội tiếp.
b) Chứng minh $AB//IE$.
c) Đường thẳng $IE$ cắt cạnh bên $AD$ và $BC$ của hình thang tương ứng tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
+ $E$ là trung điểm $MN$.
+ \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{2}{MN}\).
Cho nửa đường tròn đường kính $BC$, bán kính $R$ và điểm $A$ nằm trên nửa đường tròn ($A$ khác $B$ và $C$). Từ $A$ hạ $AH$ vuông góc với $BC$. Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa điểm $A$, vẽ nửa đường tròn đường kính $BH$ cắt $AB$ tại $E$, nửa đường tròn đường kính $HC$ cắt $AC$ tại $F$.
a) Tứ giác $AFHE$ là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh $BEFC$ là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí của điểm $A$ sao cho tứ giác $AFHE$ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo $R$.
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Lấy điểm $C$ thuộc đoạn $AO$ ($C$ không trùng $O$ và $A$), vẽ đường tròn $(O')$ đường kính $CB$. Qua trung điểm $M$ của $AC$, kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$, cắt $(O)$ tại $D$ và $E$. Gọi $I$ là giao điểm thứ hai của $BD$ với đường tròn $(O')$, $J$ là giao điểm thứ hai của $BE$ với đường tròn $(O')$. Chứng minh:
a) Tứ giác $CDAE$ là hình thoi.
b) $CI//AD$.
c) Ba điểm $E$, $C$, $I$ thẳng hàng.
d) Bốn điểm $M$, $I$, $B$, $E$ cùng thuộc một đường tròn.
e) Ba đường thẳng $AM$, $DJ$, $EI$ đồng quy.
Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$. Trên $MP$ lấy điểm $E$ \(\left(E\ne M,E\ne P\right)\). Vẽ đường tròn tâm $I$ đường kính $EP$ cắt $NP$ tại điểm thứ hai là $F$. Nối $NE$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $H$. $MH$ giao với đường tròn $(I)$ tại điểm $G$. Chứng minh:
a) Tứ giác $MNFE$ nội tiếp.
b) Khi $E$ chuyển động trên $MP$ thì \(\widehat{MHE}\) có số đo không đổi.
c) $MN//GF$.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$, điểm $M$ thuộc cung $BC$ không chứa $A$. Vẽ $MH$ vuông góc với $AB$ tại $H$ và $MK$ vuông góc với $AC$ ở $K$.
a/ Chứng minh tứ giác $AHMK$ nội tiếp.
b/ Chứng minh \(\Delta MHK \backsim\Delta MBC\).
c/ Giả sử $HK$ cắt $BC$ tại $G$. Chứng minh \(MG\perp BC\).
Cho đường tròn $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $A$. Trên $d$ lấy điểm $H$ không trùng với điểm $A$ và $AH < R$. Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $d$, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm $E$ và $B$ ($E$ nằm giữa $B$ và $H$).
a) Chứng minh \(\widehat{ABE}=\widehat{EAH}\) và \(\Delta ABH\backsim\Delta AEH\).
b) Lấy điểm $C$ trên $d$ sao cho $H$ là trung điểm của đoạn $AC$, đường thẳng $CE$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh $AHEK$ là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí điểm $H$ để \(AB=R\sqrt{3}\).
Cho tam giác $ABC$ có các góc đều nhọn và \(\widehat{A}=45^o\). Vẽ đường cao $BD$ và $CE$ của tam giác $ABC$. Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$.
a) Chứng minh tứ giác $ADHE$ nội tiếp.
b) Tính tỉ số \(\dfrac{DE}{BC}\).
c) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh \(OA\perp DE\).
