Do M đối xứng H qua AC \(\Rightarrow AC\) là trung trực của HM
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=AM\\CH=CM\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AHC=\Delta AMC\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AHC}=\widehat{AMC}\) (1)
Lại có D và F cùng nhìn BH dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow BDHF\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{DHF}=180^0\) (2)
Mà \(\widehat{DHF}=\widehat{AHC}\) (đối đỉnh) (3)
(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{AMC}=180^0\)
\(\Rightarrow ABCM\) nội tiếp
Hay M thuộc đường tròn (O)
Xét hai tam giác vuông BHF và CHE có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BFH}=\widehat{CEH}=90^0\\\widehat{BHF}=\widehat{CHE}\left(\text{đối đỉnh}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BHF\sim\Delta CHE\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{FH}{EH}\Rightarrow BH.HE=FH.CH\) (4)
Theo giả thiết H đối xứng M qua AC, mà \(HE\perp AC\Rightarrow H,M,E\) thẳng hàng
\(\Rightarrow HM=2HE\) (5)
Đồng thời \(CH=CM\) (cmt) (6)
(4);(5);(6) \(\Rightarrow BH.\dfrac{HM}{2}=FH.CM\)
\(\Rightarrow BH.HM=2FH.CM\)
