Question

Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, các đường phân giác của góc
BMA và góc CMA cắt AB, AC tương ứng tại D và E.
a) Chứng minh rằng: DE// BC
b) Gọi O là giao điểm của AM và DE. Chứng minh: OD = OE.

Answer 1

a, Vì MD là phân giác AMB \(\Rightarrow\frac{AD}{AM}=\frac{BD}{BM}\)\(\Rightarrow\frac{AD}{BD}=\frac{AM}{BM}\)\(\Rightarrow\frac{AD}{BD}=\frac{AM}{CM}\)(MB = MC)

Vì ME là phân giác AMC \(\Rightarrow\frac{AE}{AM}=\frac{EC}{MC}\)\(\Rightarrow\frac{AE}{EC}=\frac{AM}{MC}\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BD}\) => DE // BC (định lý Thales đảo)

b, Vì DE // BE (cmt) \(\Rightarrow\frac{DO}{BM}=\frac{AO}{OM}\)(Hệ quả định lý Thales)  và \(\frac{OE}{MC}=\frac{OA}{OM}\) (Hệ quả định lý Thales)

\(\Rightarrow\frac{DO}{BM}=\frac{OE}{MC}\) 

Mà BM = MC (gt)

=> DO = OE