Question

Cho tam giác ABC có AC<AB, đường cao AH. Gọi D;E;F theo thứ tự là tđ của AB;BC;AC

a. Tứ giác DECF là hình gì? Vì sao?

b. Tam giác ABC có đk gì thì tứ giác DECF là hcn?

c. Cho DE=13cm; AH=10cm. Tính diện tích tam giác ACH

d. Chứng minh tứ giác DFHE là hình thang cân

Answer 1

Bài làm:

a) Trong \(\Delta ABC\)có:

           AD = BD (gt)

           AF = CF  (gt)

\(\Rightarrow\)FD là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)FD // BC và FD = \(\frac{1}{2}\)BC

Mà E là trung điểm của đoạn thẳng BC (gt)

\(\Rightarrow\)FD//CE và FD = CE

\(\Rightarrow\)Tứ giác DECF là hình bình hành

b) Ta có hình bình hành DECF là hình chữ nhật khi \(\widehat{C}\)= 90^o

\(\Leftrightarrow AC\perp BC\)

Vậy tam giác ABC vuông tại C thì tứ giác DECF là hình chữ nhật

c) Trong hình bình hành DECF có: DE = CF

Mà CF = AF (gt)

\(\Rightarrow\)DE = CF = AF = 13 cm

Mặt khác AC = AF + CF

\(\Rightarrow\)AC = 13 + 13 = 26 cm

Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta ACH\)vuông tại H ta có:

     AC² = AH² + CH²

\(\Rightarrow\)CH² = AC² - AH²

Thay CH² = 26² - 10²

\(\Rightarrow\)CH² = 676 - 100

\(\Rightarrow\)CH² = 576

\(\Rightarrow\)CH = \(\sqrt{576}\)= 24

Vậy diện tích tam giác ACH là : \(\frac{1}{2}.10.24=120\left(cm^2\right)\)

d) Hình bình hành DECF có DF//CE

\(\Rightarrow\)DF//HE

\(\Rightarrow\)DFHE là hình thang      (1)

Trong \(\Delta ABC\)có:

   AD = BD (gt)

   BE = CE (gt)

\(\Rightarrow\)DE là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)DE = \(\frac{1}{2}\)AC      (2)

Trong \(\Delta ACH\)vuông tại H có: AF = CF (gt)

\(\Rightarrow\)HF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

\(\Rightarrow\)HF = \(\frac{1}{2}\)AC    (3)

Từ (2) và (3)\(\Rightarrow\)DE = HF       (4)

Từ (1) và (4)\(\Rightarrow\)DFHE là hình thang cân