Lời giải:
Gọi đường phân giác trong góc $A$ là $(d)$
Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $(d)$ lần lượt cắt $(d)$ và $AC$ tại $P$ và $Q$
$\overrightarrow{n_d}=(1,-1)\Rightarrow \overrightarrow{u_d}=(1,1)$
$\overrightarrow{BQ}\perp (d)$ nên $\overrightarrow{n_{BQ}}=\overrightarrow{u_d}=(1,1)$
PTĐT $BQ$ là:
$1(x-0)+1(y-4)=0\Leftrightarrow x+y-4=0$
$P$ nằm trên đường thẳng $(d)$ có PT $x-y+3=0$ và cũng nằm trên đường thẳng $BQ: x+y-4=0$ nên dễ dàng tìm được tọa độ $P(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$
Gọi tọa độ điểm $Q$ là $(a,4-a)$
Theo tính chất phân giác dễ thấy $BP=PQ$
$\Leftrightarrow BP^2=PQ^2$
$\Leftrightarrow (0-\frac{1}{2})^2+(4-\frac{7}{2})^2=(a-\frac{1}{2})^2+(4-a-\frac{7}{2})^2$
$\Rightarrow (a-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\Rightarrow a=1$ hoặc $a=0$.
Nếu $a=0$ thì $Q$ trùng $B$ (loại) nên $a=1$
Tọa độ điểm $Q(1,3)$
$\overrightarrow{u_{AQ}}=(2, 1)$
$\Rightarrow \overrightarrow{n_{AQ}}=(-1,2)$
PTĐT $AQ$: $-1(x+1)+2(y-2)=0$
$\Leftrightarrow -x+2y-5=0$ (đây cũng chính là PTĐT $AC$)
