Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi D,E,F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AO với BC, BO với AC,CO với AB. Chứng minh rằng: \(AD+BE+CF\ge\frac{9R}{2}\)

Answer 1

Ta có : \(\frac{OD}{AD}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{OE}{BE}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{OF}{CF}=\frac{S_{ABO}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

\(\Rightarrow\left(1-\frac{OD}{AD}\right)+\left(1-\frac{OE}{BE}\right)+\left(1-\frac{OF}{CF}\right)=2\)

\(\Rightarrow\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{CF}=2\)

hay \(R\left(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}\right)=2\Rightarrow\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{2}{R}\) 

mà ta có \(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}\ge\frac{9}{AD+BE+CF}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{R}\ge\frac{9}{AD+BE+CF}\)

\(\Rightarrow AD+BE+CF\ge\frac{9R}{2}\)(đpcm)

Answer 2

Khó quá! Em mới học lớp 7