Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Thu Hằng

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD. gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên tiếp tuyến tại B và C của đường tròn

1. Chứng minh tứ giác AEBD là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh ABC = ADF

3. Chứng minh AD2 = AE.AF

4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và AF, chứng minh rằng nếu AD = AM + AN thì 3 điểm A, O, D thẳng hàng

An Thy
13 tháng 6 2021 lúc 10:52

1) Ta có: \(\angle AEB+\angle ADB=90+90=180\Rightarrow AEBD\) nội tiếp

2) Tương tự ta chứng minh được: \(ADCF\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle ADF=\angle ACF=\angle ABC\)

3) Ta có: \(\angle AED=\angle ABC=\angle ADF\)

Tương tự \(\Rightarrow\angle ADE=\angle AFD\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta AFD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ADE=\angle AFD\\\angle AED=\angle ADF\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta AFD\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AE}{AD}\Rightarrow AD^2=AE.AF\)

4) \(\Delta ADE\sim\Delta AFD\Rightarrow\angle DAE=\angle DAF\)

\(\Rightarrow AD\) là phân giác \(\angle EAF\)

Vì M,N là trung điểm AE,AF \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\dfrac{1}{2}AE\\AN=\dfrac{1}{2}AF\end{matrix}\right.\)

Theo đề: \(AD=AM+AN\Rightarrow AD^2=\left(AM+AN\right)^2\)

\(\Rightarrow AE.AF=\dfrac{1}{4}\left(AE+AF\right)^2\Rightarrow4AE.AF=\left(AE+AF\right)^2\)

mà \(\left(AE+AF\right)^2\ge4AE.AF\) (BĐT Cô-si) 

\(\Rightarrow AE=AF\Rightarrow\Delta AEF\) cân tại A có \(AD\) là phân giác \(\angle EAF\)

\(\Rightarrow AD\) là trung trực \(EF\Rightarrow AD\bot EF\) mà \(AD\bot BC\)

\(\Rightarrow BC\parallel EF\) 

Ta có: \(\angle EBC=\angle EBA+\angle ABC=\angle ACB+\angle ACF=\angle FCB\)

\(\Rightarrow BCFE\) là hình thang cân có \(AD\) là trung trực EF

\(\Rightarrow AD\) là trung trực BC mà \(O\in\) trung trực BC

\(\Rightarrow A,O,D\) thẳng hàng

undefined

 


Các câu hỏi tương tự
Trần Thu Hằng
Xem chi tiết
Trần Thị Phương Vy
Xem chi tiết
Trần Thị Phương Vy
Xem chi tiết
Jan Solo
Xem chi tiết
Truong minh tuan
Xem chi tiết
Mèo con dễ thương
Xem chi tiết
Tuấn Nguyễn
Xem chi tiết
nguyển thị thảo
Xem chi tiết
Nguyễn mạnh Giáp
Xem chi tiết