Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Etermintrude💫

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , đường cao BM và CN (MϵAC , N ϵ AB ) cắt nhau tại H. Chứng minh rằng AMHN và BNMC là các tứ giác nội tiếp.

 

Help mình nhé ~

Trương Huy Hoàng
24 tháng 1 2021 lúc 22:30

Vì BM, CN là 2 đường cao ứng vs AC, AB (gt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\) = 90o

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\) = 90o (H \(\in\) BM; H \(\in\) CN do BM \(\cap\) CN tại H)

Xét tứ giác ANHM có: \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\)

\(\widehat{AMH}\) và \(\widehat{ANH}\) là 2 góc đối nhau (gt)

\(\Rightarrow\) ANHM là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

Vì BM, CN là 2 đường cao ứng vs AC, AB (gt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BNC}=\widehat{CMB}\) = 90o

Mà \(\widehat{BNC}\) và \(\widehat{CMB}\) đều nhìn cạnh BC với một góc 90o (cmt)

\(\Rightarrow\) BNMC là tứ giác nột tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

Chúc bn học tốt!

Nguyễn Lê Phước Thịnh
24 tháng 1 2021 lúc 22:34

Gọi O là trung điểm của AH

Ta có: ΔANH vuông tại N(HN⊥AB tại N)

mà NO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(O là trung điểm của AH)

nên \(NO=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)

Ta có: ΔAMH vuông tại M(HM⊥AC tại M)

mà MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(O là trung điểm của AH)

nên \(MO=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Ta có: O là trung điểm của AH(cmt)

nên \(AO=OH=\dfrac{AH}{2}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OA=ON=OM=OH

⇔A,H,M,N∈(O)

hay tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn(O)

Gọi D là trung điểm của BC

Ta có: ΔCBN vuông tại N(CN⊥AB tại N)

mà ND là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(D là trung điểm của BC)

nên \(ND=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(4)

Ta có: ΔMBC vuông tại M(MB⊥AC tại M)

mà MD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(D là trung điểm của BC)

nên \(MD=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(5)

Ta có: D là trung điểm của BC(theo cách gọi)

nên \(BD=DC=\dfrac{BC}{2}\)(6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra DB=DC=DN=DM

⇔B,C,N,M∈(D)

hay tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn(D)(đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Fox Neko
Xem chi tiết
Dung Ho
Xem chi tiết
Dũng Nguyễn tiến
Xem chi tiết
01_ Thu An 9/7
Xem chi tiết
Tuan Trjng
Xem chi tiết
Mỹ Mỹ
Xem chi tiết
pastelw13
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Minh Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Minh Châu
Xem chi tiết