Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao BD, CE cắt tại H. Qua C vẽ đường vuông góc với AC, qua B vẽ đường vuông góc với AB. Chúng cắt nhau tại F. Gọi O là trung điểm AE, kẻ OI vuông góc với BC tại I a) Chứng minh: CI = 1/2 AH b) Kẻ FK vuông góc với AH. Chứng minh BKEC là hình thang cân c) Gọi G là trọng tâm. Chứng minh H, G, O thẳng hàng
a) -Sửa đề: C/m \(OI=\dfrac{1}{2}AH\).
-△ABF vuông tại B có: BO là trung tuyến.\(\Rightarrow BO=\dfrac{1}{2}AF\)
-△ACF vuông tại C có: CO là trung tuyến \(\Rightarrow CO=\dfrac{1}{2}AF=BO\).
\(\Rightarrow\)O nằm trên đg trung trực của BC mà OI⊥BC tại I.
\(\Rightarrow\)OI là đg trung trực của BC và I là trung điểm BC.
-Tứ giác BHCF có: CH//BF (cùng vuông góc AB), BH//CF (cùng vuông góc AC).
\(\Rightarrow\)BHCF là hình bình hành mà I là trung điểm BC.
\(\Rightarrow\)I là trung điểm HF.
-△AHF có: I là trung điểm HF, O là trung điểm AF.
\(\Rightarrow\)OI là đường trung bình của △AHF nên \(OI=\dfrac{1}{2}AH\)
b) *OI cắt KF tại N.
-FK⊥AH tại K, OI//AH (OI đg trung bình của △ABC).
\(\Rightarrow\)OI⊥FK tại N.
-△AKF vuông tại K có: KO là trung tuyến.
\(\Rightarrow KO=OF=\dfrac{1}{2}AF\Rightarrow\)O nằm trên đg trung trực của KF.
Mà OI⊥FK tại N nên IN là đường trung trực của KF và I là trung điểm BC.
Mà IN cũng là đg trung trực của BC.
\(\Rightarrow\)IN là trục đối xứng của hình thang BCFK (BC//KF do cùng vuông góc AH).
\(\Rightarrow\)BCFK là hình thang cân.
c) -Gọi J là trung điểm AC, AI cắt OH tại G'.
-△OG'I có: OI//AH (cùng vuông góc BC).
\(\Rightarrow\dfrac{OI}{AH}=\dfrac{AG'}{G'I}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{AG'}{AI}=\dfrac{2}{3}\).
-△ABC có: AI là trung tuyến, G' thuộc AI, \(\dfrac{AG'}{AI}=\dfrac{2}{3}\).
\(\Rightarrow\)G' là trọng tâm của △ABC nên \(G\equiv G'\)
-Vậy H,G,O thẳng hàng.
