a: Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\left(1\right)\)
Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)
mà \(\widehat{FEC}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AEF}=\widehat{xAC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//FE
Ta có: Ax//FE
OA\(\perp\)Ax
Do đó: OA\(\perp\)FE
b: Gọi giao điểm của AI và (O) là D
Xét (O) có
AO là bán kính
AO cắt (O) tại D
Do đó: AD là đường kính của (O)
Gọi giao điểm của AH với BC là N
Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại N
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)
Xét ΔANB vuông tại N và ΔACD vuông tại C có
\(\widehat{ABN}=\widehat{ADC}\)
Do đó: ΔANB~ΔACD
=>\(\widehat{BAN}=\widehat{CAD}\)
=>\(\widehat{BAN}+\widehat{NAD}=\widehat{CAD}+\widehat{NAD}\)
=>\(\widehat{PAE}=\widehat{IAB}\)
Xét ΔAPE và ΔAIB có
\(\widehat{PAE}=\widehat{IAB}\)
\(\widehat{AEP}=\widehat{ABI}\)
Do đó: ΔAPE~ΔAIB
