Question

cho tam giác ABC có 3 đường cao là 3 số nguyên bán kính đường tròn nội tiếp =1 cm tam giác ABC đều

Answer 1

Gọi  3 cạnh cua tam giác là a ;b; c

2p =a+b+c

\(S=r.p=p\) 

=> \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{ah1}{2}=\frac{bh2}{2}=\frac{ch3}{2}=\frac{a}{\frac{2}{h1}}=\frac{b}{\frac{2}{h2}}=\frac{c}{\frac{2}{h3}}=\frac{a+b+c}{2\left(\frac{1}{h1}+\frac{1}{h2}+\frac{1}{h3}\right)}\)

=>\(\frac{1}{h1}+\frac{1}{h2}+\frac{1}{h3}=1\) => h1h2+h2h3+h1h3 = h1h2h3   => h1=h2=h3  ( vì h1;h2;h3 là 3 số nguyên)

=> KL

 

 

Answer 2

gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác, x,y,z là độ dài đường cao tương ứng
ta có:2S_ABC= a+b+c=xa=by=cz
 \(a+b+c=\frac{a}{\frac{1}{x}}=\frac{b}{\frac{1}{y}}=\frac{c}{\frac{1}{z}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Có \(ax=a+b+c\ge2a\)(BDT tam giác)
=>\(x\ge3\)(vì x nguyên)
tương tự \(y\ge3;z\ge3\)
=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=3<=> tam giác ABC đều