Cho tam giác ABC cân tại A.trên tia đối của tia BA lấy D,trên tia đối của tia CA lấy E sao cho BD=CE.Vẽ DH và EK cùng vuông góc vs BC.
a) chứng minh HB=CK
b) chứng minh góc AHB = góc AKC
c) chứng minh HK song song vs DE
d) Chứng minh tam giác AHD = tam giác AKE
e) GỌI I là giao điểm cuả Dc và EB.chứng minh AI vuông goscvs De
a, Vì \(\Delta ABC\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\) ( vì là các góc đối đỉnh )
Xét hai tam giác vuông là \(\Delta HBD\) và \(\Delta KCE\) ta có:
\(BD=CE\left(gt\right),\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta HBD=\Delta KCE\) ( cạnh huyền - góc nhọn )
=> HB = CK ( 2 cạnh tương ứng ) ( ĐPCM )
b, Vì \(\Delta ABC\) cân tại A => AB = AC
Vì \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow180^o-\widehat{ABC}=180^o-\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AKC\) ta có:
\(AB=AC\left(cmt\right),\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\left(cmt\right),HB=CK\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AKC\left(c.g.c\right)\)( ĐPCM )
c, Vì \(AB=AC,BD=CE\Rightarrow AB+BD=AC+CE\Rightarrow AD=CE\)
\(\Rightarrow\Delta ADE\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\)
Mà \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ADE}\) nằm ở bị trí đồng vị => HK song song với DE ( ĐPCM )
d, Vì \(\Delta HBD=\Delta KCE\Rightarrow DH=EK\) ( 2 cạnh tương ứng )
\(\widehat{BDH}=\widehat{CEK}\) ( 2 góc tương ứng ) \(\widehat{ADH}=\widehat{AEK}\)
Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta AKE\) ta có:
\(AD=AE\left(cmt\right),\widehat{AEK}=\widehat{ADH}\left(cmt\right),BD=CE\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AHD=\Delta AKE\left(c.g.c\right)\) ( ĐPCM )
