Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E, kẻ MF vuông góc với AC tại F
a) Chứng minh tam giác BEM = tam giác CFM
b) Chứng minh AM là trung trực EF
c) Từ B kẻ đường vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng này cắt nhau tại B. Chứng minh A, M , D là 3 điểm thẳng hàng
a. AM là phân giác của tam giác ABC cân tại A => AM cũng là đường cao và đường phân giác trong ta giác ABC
=> góc EAM = góc FAM
=> Tam giác EAM = tam giác FAM (cạnh huyền - góc nhọn)
=> EA=FA và EM = FM (1)
TA có: AB =AC => AB - AE = AC - ÀF <=> BE = FC (2)
Và AM là đường trung tuyến của tam giác ABC => BM =MC (3)
Từ (1), (2), (3) => tam giác BEM = tam giác CFM (c-c-c)
a, Xét t/g BEM và t/g CFM có:
góc BEM = góc CFM = 90 độ (gt)
MB = MC (gt)
góc B = góc C (gt)
=> t/g BEM = t/g CFM (cạnh huyền - góc nhọn)
b, Xét t/g AEM và t/g AFM có:
EM = FM (t/g BEM = t/g CFM)
góc AEM = góc AFM = 90 độ (gt)
AM chung
=> t/g AEM = t/ AFM (c.g.c)
=> AE = AF
=> tg/ AEF cân tại A
Mà AM là tia phân giác của t/g AEF
=> AM là đường trung trực của t/g AEF hay AM là đường trung trực của EF
c, Vì t.g ABC cân tại A và AM là trung tuyến cuả BC
=> AM cũng là đường trung trực của BC (1)
=> góc AMB = 90 độ
Xét t/g DMB và t/g DMC có:
MB = MC (gt)
góc DMB = góc DMC = 90 độ (cmt)
DM chung
=> t/g DMB = t/g DMC (c.g.c)
=> DB = DC => D thuộc trung trực của BC
Mà MB = MC => M thuộc trung trực của BC
=> DM là trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) => A,D,M thẳng hàng
