Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ BD, CE lần lượt vuông góc với AC và AB. Gọi I là giao điểm BD và CE.

  a, Chứng minh rằng: Tam giác AEI = tam giác ADI

  b, Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: A, I, M thẳng hàng

 

Answer 1

Hình vẽ:

a) Xét \(\Delta\)ABD  và \(\Delta\)ACE có: 

AB = AC ( \(\Delta\)ABC cân )

^BAD = ^CAE ( ^A chung )

^ADB = ^AEC = 90^o 

=> \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)ACE ( ch - gn )  => AD = AE ( 1)

Xét \(\Delta\)AEI và \(\Delta\)ADI có:

AI chung 

AD = AE ( theo (1) )

^AEI = ^ADI = 90^o 

=> \(\Delta\)AEI = \(\Delta\)ADI ( ch - cgv )

b) Từ (a) => ^EAI = ^DAI 

=> AI là phân giác ^EAD 

hay AI là phân giác  trong ^BAC  (2) 

Mặt khác: \(\Delta\)BAC cân tại A có M là trung điểm BC 

=> AM là đường trung tuyến \(\Delta\)ABC 

=> AM là phân giác trong ^BAC (3) 

Từ (2) ; (3) => A; I; M thẳng hàng.

Answer 2

Vì 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác ABC 

Suy ra AI là đường cao thứ 3 của tam giác ABC, mà tam giác ABC cân tại A nên AI đồng thời là tia phân giác của góc A

Suy ra \(\widehat{EAI}=\widehat{DEI}\)

Xét \(\Delta AEI,\Delta ADI\)có:

\(\widehat{AEI}=\widehat{ADI}=90^0\)

AI chung

\(\widehat{EAI}=\widehat{DEI}\)

=> \(\Delta AEI=\Delta ADI\)(ch-gn)

b) Vì AI là đường cao thứ 3 của tam giác ABC, mà tam giác ABC cân tại A nên AI đồng thời là là trung tuyến ứng với cạnh BC, mà M là trung điểm của BC nên A, I, M thẳng hàng