Question

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường kính $AI$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, $K$ là trung điểm của $OI$, $H$ là trung điểm của $EB$.
a/ Chứng minh  \(HK\perp EB\)
b/ Chứng minh tứ giác $AEKC$ nội tiếp được trong một đường tròn.

Answer 1

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường kính $AI$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, $K$ là trung điểm của $OI$, $H$ là trung điểm của $EB$.
a/ Chứng minh  $HK\perp EB$
b/ Chứng minh tứ giác $AEKC$ nội tiếp được trong một đường tròn.

 

a) Ta thấy E, O là trung điểm của AB và AI nên EO là đường trung bình tam giác ABI

$\Rightarrow$ EO song song với BI.

Ta lại có H, K lần lượt là trung điểm của EB và OI

nên HK là đường trung bình của hình thang EOIB.

=> HK song song với BI (1)

Mặt khác do AI là đường kính nên góc ABI = 90 (2)\widehat{ABI}=90^o

Từ (1) và (2) suy ra $HKvuông\; góc\; vớiEB$(đpcm)

b)

Xét tam giác KBE có KH là trung tuyến đồng thời đường cao (CM trước)

nên KBE là tam giác cân tại K.

=> góc BEK = KBE (3)

Do tam giác ABC cân tại A

nên AI là đường trung trực của BC

Mà K thuộc AI nên KB = KC

hay tam giác KBC cân tại K

=> KBC=KCB 

và ACB=ABC 

$\hat{}$.Mặt khác, ta lại có  ACB=  ACK + KCB và ABC = ABK + KBC

=> ABK=ACK(4)

Từ (3) và (4) suy ra $\hat{}\hat{}$.

 AEKC là tứ giác nội tiếp.