Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi P là điểm bất kì thuộc BC. M,N thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BP,CP. Đường trung trực của BP cắt AB tại E. Đường trung trực của CP cắt AC tại F.

a) C/m: AEPF là hình bình hành

b) C/m: PE+PF ko phụ thuộc vị trí điểm P trên BC

Answer 1

tự vẽ hình nhé

a)tam giác ABC cân tại A(gt)

=>góc ABC=góc ACB

Xét tam giác BEP có: E thuộc đường trung trực của BP

=>BE=EP

=>tam giác BEP cân tại E

=>góc EBP=góc EPB,mà góc EBP=góc ACB (do góc ABC=góc ACB(cmt))

=>góc EPB=góc ACN,mà chúng ở vị trí đồng vị

=>EP//CF hay EP//AF

Xét tam giác CPF có: F thuộc đường trung trực CP=>CF=PF

=>tam giác CPF cân tại F

=>góc FPC=góc FCP,mà ABC=góc FCP(do góc ABC=góc ACB(cmt))

=>góc FPC=góc ABC,mà chúng ở vị trí đồng vị

=>AB//PF hay AE//PF

Xét tứ giác AEPF có: EP//AF (cmt); AE//PF(cmt)

=>tứ giác AEPF là hình bình hành (DHNB.......)

b, AEPF là hình bình hành (cmt)

=>AF=PE

Lại có CF=PF(cmt)

=>PE + PF = AF + CF = AC không phụ thuộc vào vị trí của điểm P trên BC