Question

Cho tam giác ABC cân tại A đường trung tuyến BM.TRên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=2BC.C/M BM vuông góc với AD

Answer 1

Kẻ đường thẳng qua C vuông góc AC cắt AD tại E
ta có ABCE=BDCD=2ABCE=BDCD=2 (1)
mà AB =AC =2 .AM (2)
từ (1, 2) =>AMCE=1AMCE=1 =>AM =CE
=>△BAM=△ACE△BAM=△ACE (c, g, c)
=>ABMˆ=CAEˆABM^=CAE^
mà ABMˆ+AMBˆ=90∘ABM^+AMB^=90∘
=>CAEˆ+AMBˆ=90∘CAE^+AMB^=90∘
=>BM vuông góc AD(đpcm)

Answer 2

Kẻ  DE // BM  \(\rightarrow\frac{IM}{DE}=\frac{3}{5},BM=3DE\rightarrow MB=5MI\)

\(AB=a\rightarrow AM=\frac{a}{2},BM^2=\frac{5a^2}{4}\rightarrow MI.MB=\frac{Mb^2}{5}=\frac{a^2}{4}\)

\(AM^2=\frac{a^2}{4}\rightarrow MA^2=MI.MB=\frac{MB^2}{5}=\frac{a^2}{4}\)

Answer 3

Gọi E là giao điểm của AD và đường thẳng đi qua C , vuông góc với CA

Do AB // CE (gt) \(\Rightarrow\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{DC}=2\)( Định lí Ta - lét )

Vì tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\)

Mà \(AC=2AM\)( do BM là trung tuyến \(\Rightarrow AM=MC=\frac{1}{2}AC\))

\(\Rightarrow AB=2AM\)

\(\Rightarrow\frac{2AM}{CE}=2\Rightarrow\frac{AM}{CE}=1\Rightarrow AM=CE\)

Xét \(\Delta BAM\)và \(\Delta ACE\)có :

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{BAM}=\widehat{ACE}\left(=90^0\right)\)

\(AM=CE\left(cmt\right)\)

Suy ra \(\Delta BAM=\Delta ACE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AEC}\)( 2 góc tương ứng )
Mà \(\widehat{AEC}+\widehat{CAE}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}+\widehat{CAE}=90^0\)

\(\Rightarrow BM\)vuông góc với AD (đpcm)

Chúc bạn học tốt !!!