Question

Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M nằm trong tam giác sao cho MB < MC. Chứng minh rằng góc AMB > góc AMC

Answer 1

Trên nửa mặt phẳng bờ AC lấy điểm N sao cho \(\widehat{A}_1=\widehat{A}_2\)và AM=AN

Xét tam giác AMB và tam giác ANC có:

AB=AC(tan giác ABC cân)

\(\widehat{A}_1=\widehat{A}_2\)

AM=AN

=> tam giác AMB= tam giác ANC(c-g-c)

=>\(\widehat{M}_1=\widehat{ANC}\);BM=NC

Mà BM<MC

=>NC<MC

Xét tam giác AMN có AM=AN =>tam giác AMN cân tại A

=>\(\widehat{M}_2=\widehat{N}_2\)(1)

Xét tam giác CNM có NC<MC

=>\(\widehat{M}_3< \widehat{N}_3\)(2)

Từ (1),(2)

=>\(\widehat{M}_2+\widehat{M}_3< \widehat{N}_2+\widehat{N}_3\)

=>\(\widehat{AMC}< \widehat{ANC}\)=>\(\widehat{ANC}>\widehat{AMC}\)

=>\(\widehat{AMB}>\widehat{AMC}\)(\(\widehat{ANC}=\widehat{AMB}\))

Answer 2

Trên nửa mặt phẳng bờ AC lấy điểm N sao cho ˆA1=ˆA2A^1=A^2và AM=AN

Xét tam giác AMB và tam giác ANC có:

AB=AC(tan giác ABC cân)

ˆA1=ˆA2A^1=A^2

AM=AN

=> tam giác AMB= tam giác ANC(c-g-c)

=>ˆM1=ˆANCM^1=ANC^;BM=NC

Mà BM<MC

=>NC<MC

Xét tam giác AMN có AM=AN =>tam giác AMN cân tại A

=>ˆM2=ˆN2M^2=N^2(1)

Xét tam giác CNM có NC<MC

=>ˆM3<ˆN3M^3<N^3(2)

Từ (1),(2)

=>ˆM2+ˆM3<ˆN2+ˆN3M^2+M^3<N^2+N^3

=>ˆAMC<ˆANCAMC^<ANC^=>ˆANC>ˆAMCANC^>AMC^

=>ˆAMB>ˆAMCAMB^>AMC^(ˆANC=ˆAMBANC^=AMB^)