cho tam giác ABC cân tại A có góc A bằng 120*. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Trên AB lấy E. Gọi F là giao điểm của BD và CE, M là giao điểm của DE và AF.
a. CM tam giác ACE đồng dạng với tam giác DFC, tam giác EAD đồng dạng với tam giác ADF.
b. Tính góc AMD và chứng minh tứ giá ADBM nội tiếp
c.Tìm tập hợp điểm M khi E di chuyên trên AB ( E khác A,B)
a) Ta thấy: \(\Delta\)ABC cân tại A có AD vuông góc BC => AD là trung trực của BC
Xét tứ giác ABDC: AD là trung trực của BC; BC là trung trực của AD
=> Tứ giác ABDC là hình thoi => AC//BD hay AC//DF => ^ACE=^DFC (So le trong)
Xét \(\Delta\)ACE và \(\Delta\)DFC: ^ACE=^DFC; ^EAC=^CDF (Vì tứ giác ABDC là h.thoi)
=> \(\Delta\)ACE ~ \(\Delta\)DFC (g.g) => \(\frac{AE}{DC}=\frac{AC}{DF}\)(*)
Lại có: Hình thoi ABDC có ^BAC=1200 => ^BAD=^CAD=600 => \(\Delta\)ABD là tam giác đều.
=> AB=BD=AD=AC=CD, thay DC=AC=AD vào (*) ta được: \(\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{DF}\)
Xét \(\Delta\)EAD và \(\Delta\)ADF: \(\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{DF};\)^EAD=^ADF (Do tam giác BAD đều)
=> \(\Delta\)EAD ~ \(\Delta\)ADF (c.g.c).
b) \(\Delta\)EAD ~ \(\Delta\)ADF (cmt) => ^AED=^DAF.
Dễ thấy ^AED là góc ngoài tam giác AEM => ^AED = ^EAM + ^EMA
^DAF = ^DAB + ^EAM
Do đó ^DAB + ^EAM = ^EAM + ^EMA => ^DAB = ^EMA.
Mà ^DAB=600 => ^EMA=600 hay ^AMD=600.
Xét tứ giác ADBM: ^AMD=^ABD=600 => Tứ giác ADBM nội tiếp đường tròn.
c) Tứ giác ADBM nội tiếp đường tròn => Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)ABD (1)
Do \(\Delta\)ABD cố định => Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)ABD cố định. (2)
Từ (1) và (2) => Điểm M di động trên đường tròn ngoại tiếp cố định của \(\Delta\)ABD.
Vậy khi điểm E di động trên AB thì điểm M luôn di động trên cung nhỏ AB của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)ABD cố định.
