a) Ta có: AH⊥BC(AH là đường cao ứng với cạnh BC trong ΔABC)
BD⊥BC(gt)
Do đó: AH//BD(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)
nên AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(định lí tam giác cân)
⇔H là trung điểm của BC
Xét ΔBCD có
H là trung điểm của BC(cmt)
HA//BD(cmt)
Do đó: A là trung điểm của CD(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét ΔBCD có
H là trung điểm của BC(cmt)
A là trung điểm của CD(cmt)
Do đó: AH là đường trung bình của ΔBCD(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
\(\Leftrightarrow AH=\frac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
hay \(BD=2\cdot AH\)(đpcm)
b) Ta có: \(BD=2\cdot AH\)(cmt)
\(\Leftrightarrow BD^2=4\cdot AH^2\)
Xét ΔBCD vuông tại B có BK là đường cao ứng với cạnh huyền DC(gt)
nên \(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{BD^2}\)(Định lí 4 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
hay \(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4\cdot AH^2}\)(đpcm)
Lời giải:
a) Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến. Do đó $H$ là trung điểm của $BC$
$AH\perp BC, BD\perp BC\Rightarrow AH\parallel BC$. Áp dụng định lý Talet:
$\frac{AH}{BD}=\frac{CH}{CB}=\frac{1}{2}$ (do $H$ là trung điểm $BC$)
$\Rightarrow BD=2AH$ (đpcm)
b)
Xét tam giác vuông tại $B$ là $BDC$ có đường cao $BK$. Áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BD^2}+\frac{1}{BC^2}$
Mà theo phần a thì $BD=2AH\Rightarrow BD^2=4AH^2$
$\Rightarrow \frac{1}{BK^2}=\frac{1}{4AH^2}+\frac{1}{BC^2}$ (đpcm)
