Question

Cho tam giác ABC cân tại A có AB= \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) BC, H(2,1) là trung điểm của BC và đt AC có pt 2x-y+2=0. Tìm tọa độ điểm A

Answer 1

Gọi \(A\left(a;2a+2\right)\Rightarrow\overrightarrow{HA}=\left(a-2;2a+1\right)\)

Gọi M là hình chiếu của H lên AC

\(\Rightarrow HM=d\left(H;AC\right)=\frac{\left|2.2-1+2\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)

\(sin\widehat{HAC}=\frac{HC}{AC}=\frac{BC}{2AC}=\frac{BC}{\sqrt{5}BC}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(AH=\frac{HM}{sin\widehat{HAM}}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=5\)

\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(2a+1\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow5a^2=20\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\\a=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}A\left(2;6\right)\\A\left(-2;-2\right)\end{matrix}\right.\)