Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên:
\(\Rightarrow AB=AC\)
\(\Rightarrow AN=AM\)
Xét 2 \(\Delta AIM\) và \(\Delta AIN\) vuông có:
\(AM=AN\)
\(AI\) là cạnh chung.
\(\Rightarrow\Delta AIM=\Delta ANI\left(ch-cgv\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{IAM}=\widehat{IAN}\left(2g.t.ứ\right)\)
\(\Rightarrow AI\) là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
Gọi O là trung điểm của AB
\(\Rightarrow\)O thuộc đường trung trực của AB(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)
mà I thuộc đường trung trực của AB(gt)
nên IO là đường trung trực của AB
hay IO\(\perp\)AB
Gọi K là trung điểm của AC
\(\Rightarrow\)K thuộc đường trung trực của AC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)
mà I thuộc đường trung trực của AC(gt)
nên IK là đường trung trực của AC
hay IK\(\perp\)AC
Ta có: AB=AC(\(\Delta\)ABC cân tại A)
mà \(AO=OB=\frac{AB}{2}\)(do O là trung điểm của AB)
và \(AK=KC=\frac{AC}{2}\)(do K là trung điểm của AC)
nên AO=OB=AK=KC
Xét \(\Delta\)AOI vuông tại O và \(\Delta\)AKI vuông tại K có
AI là cạnh chung
AO=AK(cmt)
Do đó: \(\Delta\)AOI=\(\Delta\)AKI(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{OAI}=\widehat{KAI}\)(hai góc tương ứng)
mà tia AI nằm giữa hai tia AO,AK
nên AI là tia phân giác của \(\widehat{OAK}\)
hay AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
