Question

cho tam giác ABC , 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). M, N, K lần lượt là các điểm chính giữa của các cung BC, AC , AB

a) AM vuông góc NK

b) AM giao CK tại I . Chứng minh tam giác CIM cân

Answer 1

a/ Gọi P là giao cuả  AM và NK Ta có

sđ cung AN = 1/2 sđ cung AC

sđ cung BK = 1/2 sđ cung AB

sđ cung BM = 1/2 sđ cung BC

sđ cung MK = sđ cung BK + sđ cung BM = 1/2 sđ cung AB + 1/2 sđ cung BC

sđ \(\widehat{APN}=\) 1/2(sđ cung AN + sđ cung MK) = 1/2(1/2 sđ cung AC + 1/2 sđ cung AB + 1/2 sđ cung BC) = 1/4(sđ cung AC + sđ cung AB + sđ cung BC) (góc có đỉnh ở trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng hai cung bị chắn)

Mà sđ cung AC + sđ cung AB + sđ cung BC = 360

=> sđ\(\widehat{APN}\) = 1/4x360=90 => \(AM\perp NK\)

b/ Ta có

sđ cung AK = sđ cung BK

sđ cung cung BM = sđ cung CM

sđ\(\widehat{KCM}=\) 1/2 sđ cung MK = 1/2(sđ cung BK + sđ cung BM)

sđ\(\widehat{MIC}=\) 1/2 (sđ cung AK + 1/2 sđ cung CM) (góc có đỉnh ở trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng hai cung bị chắn)

\(\Rightarrow\widehat{KCM}=\widehat{MIC}\) => tam giác MIC cân tại M