Question

Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$. $C P, \, B Q$ là các đường phân giác trong của $\triangle A B C$ $(P \in A B, \,Q \in A C)$. Gọi $O$ là giao điểm của $C P$ và $B Q$.

a) Chứng minh tam giác $O B C$ là tam giác cân.

b) Chứng minh điểm $O$ cách đều ba cạnh $A B, \, A C$ và $B C$.

c) Chứng minh đường thẳng $A O$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $B C$ và vuông góc với nó.

d) Chứng minh $C P=B Q$.

e) Tam giác $A P Q$ là tam giác gì? Vì sao?

Answer 1

a, BQ là đường phân giác của góc B 

=> \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}\) ( 1 )

CP là đường phân giác của góc C 

=> \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}\) ( 2 )

Mà tam giác ABC cân tại A 

= > \(\widehat{B}=\widehat{C}\) ( 3 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) = > \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)

Xét tam giác OBC có : 

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) ( cmt )

= > Tam giác OBC cân tại O

b, Do O là giao của 2 đường phân giác BQ và CP của tam giác ABC 

nên O là trực tâm của tam giác ABC hay điểm O cách đều 3 cạnh AB,AC, BC của tam giác ABC 

c, Do O là trực tâm của tam giác ABC ( câu b, )

Mà tam giác ABC cân tại A 

= > AO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC tức là AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC 

d, Xét \(\Delta QBC\) và \(\Delta PCB\) có :

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\left(cmt\right)\)

BC chung 

\(\widehat{B}=\widehat{C}\left(gt\right)\)

=> \(\Delta QBC=\Delta PCB\left(g-c-g\right)\)

= > CP = BQ ( 2 cạnh tương ứng )

e, Do tam giác QBC = tam giác PCB ( câu d, )

=> BP = CQ ( 2 cạnh tương ứng )

\(P\in AB\)

= > AP + PB = AB 

= > AP = AB - PB ( 4 )

\(Q\in AC\)

= > AQ + QC =AC

= > AQ = AC - QC ( 5 ) 

Từ ( 4 ) , ( 5 ) 

= > AP = AQ

Xét tam giác APQ có :

AP = AQ ( cmt ) 

= > Tam giác APQ cân tại A ( đpcm )

Answer 2

a) $△ABC$ cân tại $A$ nên ���^=���^ABC=ACB.

Vì $BQ$ và $CP$ là đường phân giác của �^,�^B,C nên �1^=�2^=���^2B1​​=B2​​=2ABC​, �1^=�2^=���^2C1​​=C2​​=2ACB​.

Do đó �1^=�2^=�1^=�2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​.

Suy ra $△OBC$ cân tại $O$.

b) Vì $O$ là giao điểm các đường phân giác $CP$ và $BQ$ trong $△ABC$ nên $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong $△ABC$.

Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC$ và $BC$.

c) Ta có $△ABC$ cân tại $A,AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là trung tuyến và đường cao của $△ABC$.

Vậy đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và vuông góc với nó.

d) Ta có $△PBC=△QCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow CP=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có $AP=AB-BP$, $AQ=AC-CQ$ (1);

$△PBC=△QCB\Rightarrow BP=CQ$ (2).

Lại có $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AP=AQ$.

Vậy tam giác $APQ$ cân tại $A$.

Answer 3

a) $△ABC$ cân tại $A$ nên ���^=���^ABC=ACB.

Vì $BQ$ và $CP$ là đường phân giác của �^,�^B,C nên �1^=�2^=���^2B1​​=B2​​=2ABC​, �1^=�2^=���^2C1​​=C2​​=2ACB​.

Do đó �1^=�2^=�1^=�2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​.

Suy ra $△OBC$ cân tại $O$.

b) Vì $O$ là giao điểm các đường phân giác $CP$ và $BQ$ trong $△ABC$ nên $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong $△ABC$.

Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC$ và $BC$.

c) Ta có $△ABC$ cân tại $A,AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là trung tuyến và đường cao của $△ABC$.

Vậy đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và vuông góc với nó.

d) Ta có $△PBC=△QCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow CP=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có $AP=AB-BP$, $AQ=AC-CQ$ (1);

$△PBC=△QCB\Rightarrow BP=CQ$ (2).

Lại có $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AP=AQ$.

Vậy tam giác $APQ$ cân tại $A$.

△�

Answer 4

a) $△ABC$ cân tại $A$ nên ���^=���^ABC=ACB.

Vì $BQ$ và $CP$ là đường phân giác của �^,�^B,C nên �1^=�2^=���^2B1​​=B2​​=2ABC​, �1^=�2^=���^2C1​​=C2​​=2ACB​.

Do đó �1^=�2^=�1^=�2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​.

Suy ra $△OBC$ cân tại $O$.

b) Vì $O$ là giao điểm các đường phân giác $CP$ và $BQ$ trong $△ABC$ nên $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong $△ABC$.

Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC$ và $BC$.

c) Ta có $△ABC$ cân tại $A,AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là trung tuyến và đường cao của $△ABC$.

Vậy đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và vuông góc với nó.

d) Ta có $△PBC=△QCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow CP=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có $AP=AB-BP$, $AQ=AC-CQ$ (1);

$△PBC=△QCB\Rightarrow BP=CQ$ (2).

Lại có $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AP=AQ$.

Vậy tam giác $APQ$ cân tại $A$.

Answer 5

a) $△ABC$ cân tại $A$ nên ���^=���^ABC=ACB.

Vì $BQ$ và $CP$ là đường phân giác của �^,�^B,C nên �1^=�2^=���^2B1​​=B2​​=2ABC​, �1^=�2^=���^2C1​​=C2​​=2ACB​.

Do đó �1^=�2^=�1^=�2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​.

Suy ra $△OBC$ cân tại $O$.

b) Vì $O$ là giao điểm các đường phân giác $CP$ và $BQ$ trong $△ABC$ nên $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong $△ABC$.

Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC$ và $BC$.

c) Ta có $△ABC$ cân tại $A,AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là trung tuyến và đường cao của $△ABC$.

Vậy đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và vuông góc với nó.

d) Ta có $△PBC=△QCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow CP=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có $AP=AB-BP$, $AQ=AC-CQ$ (1);

$△PBC=△QCB\Rightarrow BP=CQ$ (2).

Lại có $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AP=AQ$.

Vậy tam giác $APQ$ cân tại $A$.

Answer 6

dễ

Answer 7

1230

Answer 8

a) $△ABC$ cân tại $A$ nên ���^=���^ABC=ACB.

Vì $BQ$ và $CP$ là đường phân giác của �^,�^B,C nên �1^=�2^=���^2B1​​=B2​​=2ABC​, �1^=�2^=���^2C1​​=C2​​=2ACB​.

Do đó �1^=�2^=�1^=�2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​.

Suy ra $△OBC$ cân tại $O$.

b) Vì $O$ là giao điểm các đường phân giác $CP$ và $BQ$ trong $△ABC$ nên $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong $△ABC$.

Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC$ và $BC$.

c) Ta có $△ABC$ cân tại $A,AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là trung tuyến và đường cao của $△ABC$.

Vậy đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và vuông góc với nó.

d) Ta có $△PBC=△QCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow CP=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có $AP=AB-BP$, $AQ=AC-CQ$ (1);

$△PBC=△QCB\Rightarrow BP=CQ$ (2).

Lại có $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AP=AQ$.

Vậy tam giác $APQ$ cân tại $A$.

Answer 9

a) $△ABC$ cân tại $A$ nên ���^=���^ABC=ACB.

Vì $BQ$ và $CP$ là đường phân giác của �^,�^B,C nên �1^=�2^=���^2B1​​=B2​​=2ABC​, �1^=�2^=���^2C1​​=C2​​=2ACB​.

Do đó �1^=�2^=�1^=�2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​.

Suy ra $△OBC$ cân tại $O$.

b) Vì $O$ là giao điểm các đường phân giác $CP$ và $BQ$ trong $△ABC$ nên $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong $△ABC$.

Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC$ và $BC$.

c) Ta có $△ABC$ cân tại $A,AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là trung tuyến và đường cao của $△ABC$.

Vậy đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và vuông góc với nó.

d) Ta có $△PBC=△QCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow CP=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có $AP=AB-BP$, $AQ=AC-CQ$ (1);

$△PBC=△QCB\Rightarrow BP=CQ$ (2).

Lại có $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AP=AQ$.

Vậy tam giác $APQ$ cân tại $A$.

Answer 10

a) $△ABC$ cân tại $A$ nên ���^=���^ABC=ACB.

Vì $BQ$ và $CP$ là đường phân giác của �^,�^B,C nên �1^=�2^=���^2B1​​=B2​​=2ABC​, �1^=�2^=���^2C1​​=C2​​=2ACB​.

Do đó �1^=�2^=�1^=�2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​.

Suy ra $△OBC$ cân tại $O$.

b) Vì $O$ là giao điểm các đường phân giác $CP$ và $BQ$ trong $△ABC$ nên $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong $△ABC$.

Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC$ và $BC$.

c) Ta có $△ABC$ cân tại $A,AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là trung tuyến và đường cao của $△ABC$.

Vậy đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và vuông góc với nó.

d) Ta có $△PBC=△QCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow CP=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có $AP=AB-BP$, $AQ=AC-CQ$ (1);

$△PBC=△QCB\Rightarrow BP=CQ$ (2).

Lại có $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AP=AQ$.

Vậy tam giác $APQ$ cân tại $A$.

Answer 11

a) $△ABC$ cân tại $A$ nên ���^=���^ABC=ACB.

Vì $BQ$ và $CP$ là đường phân giác của �^,�^B,C nên �1^=�2^=���^2B1​​=B2​​=2ABC​, �1^=�2^=���^2C1​​=C2​​=2ACB​.

Do đó �1^=�2^=�1^=�2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​.

Suy ra $△OBC$ cân tại $O$.

b) Vì $O$ là giao điểm các đường phân giác $CP$ và $BQ$ trong $△ABC$ nên $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong $△ABC$.

Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC$ và $BC$.

c) Ta có $△ABC$ cân tại $A,AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là trung tuyến và đường cao của $△ABC$.

Vậy đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và vuông góc với nó.

d) Ta có $△PBC=△QCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow CP=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có $AP=AB-BP$, $AQ=AC-CQ$ (1);

$△PBC=△QCB\Rightarrow BP=CQ$ (2).

Lại có $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AP=AQ$.

Vậy tam giác $APQ$ cân tại $A$.

Answer 12

a) $△ABC$ cân tại $A$ nên ���^=���^ABC=ACB.

Vì $BQ$ và $CP$ là đường phân giác của �^,�^B,C nên �1^=�2^=���^2B1​​=B2​​=2ABC​, �1^=�2^=���^2C1​​=C2​​=2ACB​.

Do đó �1^=�2^=�1^=�2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​.

Suy ra $△OBC$ cân tại $O$.

b) Vì $O$ là giao điểm các đường phân giác $CP$ và $BQ$ trong $△ABC$ nên $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong $△ABC$.

Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC$ và $BC$.

c) Ta có $△ABC$ cân tại $A,AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là trung tuyến và đường cao của $△ABC$.

Vậy đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và vuông góc với nó.

d) Ta có $△PBC=△QCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow CP=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có $AP=AB-BP$, $AQ=AC-CQ$ (1);

$△PBC=△QCB\Rightarrow BP=CQ$ (2).

Lại có $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AP=AQ$.

Vậy tam giác $APQ$ cân tại $A$

Answer 13

a, BQ là đường phân giác của góc B 

=> \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}\) ( 1 )

CP là đường phân giác của góc C 

=> \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}\) ( 2 )

Mà tam giác ABC cân tại A 

= > \(\widehat{B}=\widehat{C}\) ( 3 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) = > \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)

Xét tam giác OBC có : 

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) ( cmt )

= > Tam giác OBC cân tại O

b, Do O là giao của 2 đường phân giác BQ và CP của tam giác ABC 

nên O là trực tâm của tam giác ABC hay điểm O cách đều 3 cạnh AB,AC, BC của tam giác ABC 

c, Do O là trực tâm của tam giác ABC ( câu b, )

Mà tam giác ABC cân tại A 

= > AO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC tức là AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC 

d, Xét \(\Delta QBC\) và \(\Delta PCB\) có :

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\left(cmt\right)\)

BC chung 

\(\widehat{B}=\widehat{C}\left(gt\right)\)

=> \(\Delta QBC=\Delta PCB\left(g-c-g\right)\)

= > CP = BQ ( 2 cạnh tương ứng )

e, Do tam giác QBC = tam giác PCB ( câu d, )

=> BP = CQ ( 2 cạnh tương ứng )

\(P\in AB\)

= > AP + PB = AB 

= > AP = AB - PB ( 4 )

\(Q\in AC\)

= > AQ + QC =AC

= > AQ = AC - QC ( 5 ) 

Từ ( 4 ) , ( 5 ) 

= > AP = AQ

Xét tam giác APQ có :

AP = AQ ( cmt ) 

= > Tam giác APQ cân tại A ( đpcm )

Answer 14

a) $△ABC$ cân tại $A$ nên 𝐴𝐵𝐶^=𝐴𝐶𝐵^ABC=ACB.

Vì $BQ$ và $CP$ là đường phân giác của 𝐵^,𝐶^B,C nên 𝐵1^=𝐵2^=𝐴𝐵𝐶^2B1​​=B2​​=2ABC​, 𝐶1^=𝐶2^=𝐴𝐶𝐵^2C1​​=C2​​=2ACB​.

Do đó 𝐵1^=𝐵2^=𝐶1^=𝐶2^B1​​=B2​​=C1​​=C2​​.

Suy ra $△OBC$ cân tại $O$.

b) Vì $O$ là giao điểm các đường phân giác $CP$ và $BQ$ trong $△ABC$ nên $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong $△ABC$.

Do đó, $O$ cách đều ba cạnh $AB,AC$ và $BC$.

c) Ta có $△ABC$ cân tại $A,AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là trung tuyến và đường cao của $△ABC$.

Vậy đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và vuông góc với nó.

d) Ta có $△PBC=△QCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow CP=BQ$ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có $AP=AB-BP$, $AQ=AC-CQ$ (1);

$△PBC=△QCB\Rightarrow BP=CQ$ (2).

Lại có $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AP=AQ$.

Vậy tam giác $APQ$ cân tại $A$.