Question

Cho số tự nhiên ab bằng 3 lần tích các chữ số của nó

a. Chứng minh: b chia hết cho a

b. Giả sử b = ka (k thuộc N). Chứng minh: k là ước của 10

c. Tìm các số ab nói trên

Answer 1

a. Theo đề bài, ta có: ab = 3ab

\(\Leftrightarrow10a+b=3ab\) (1)

\(\Leftrightarrow\left(10a+b\right)⋮a\)

Vì \(10a⋮a\) nên \(b⋮a\left(đpcm\right)\)

b. Thay b = ka vào (1), ta được:

\(\Leftrightarrow10a+ka=3a.ka\)

\(\Leftrightarrow a\left(10+k\right)=3a.ka\)

\(\Leftrightarrow10+k=3ka\)

\(\Leftrightarrow\left(10+k\right)⋮k\)

Vì \(k⋮k\) nên \(10⋮k\)

\(\Rightarrow k\inƯ\left(10\right)\left[đpcm\right]\)

c. Vì k < 10 nên \(k\in\left\{1;2;5\right\}\)

TH1: k = 1. Suy ra 3a = 11 (loại)

TH2: k = 2. Suy ra 6a = 12 nên a = 2 và b = 4

TH3: k = 5. Suy ra 15a = 15 nên a = 1 và b = 5

Vậy có hai số ab cần tìm là 24 và 15