Question

Cho số 2² và 5² viết liền nhau đc số 425 có 3 chữ số ,

số 2³ và 5³ viết liền nhau đc số 8215 có 4 chữ số ,

số 2⁴ và 5⁴ viết liền nhau đc số 16625 có 5 chữ số.

Chứng minh rằng số 2¹⁹⁹¹ và 5¹⁹⁹¹ viết liền nhau đc 1 số có 1992 chữ số

Answer 1

Giải . Giả sử số 2¹⁹⁹¹ có x chữ số , số 5¹⁹⁹¹ có y chữ số . Cần chứng minh rằng x + y = 1992 .

Số tự nhiên nhỏ nhất có x chữ số là 10^x-1 , số tự nhiên nhỏ nhất có x + 1 chữ số là 10^x , ta có :

10^x-1 < 2¹⁹⁹¹ < 10^x . Tương tự 10^y-1 < 5¹⁹⁹¹ < 10^y .

Do đó : 10^x-1 . 10^y-1 < 2¹⁹⁹¹ . 5¹⁹⁹¹ < 10^x . 10^y .

Suy ra : 10^{x + y - 2} < 10¹⁹⁹¹ < 10^{x + y}

x + y - 2 < 1991 < x + y

Do x + y € N nên x + y - 1 = 1991 , do đó x + y = 1992 .

Vậy 2¹⁹⁹¹ và 5¹⁹⁹¹ viết liền nhau tạo thành số có 1992 chữ số .