với \(a>0,b>0\)ta có \(\sqrt{a}.\sqrt{b}\le\frac{a+b}{2}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a}.\sqrt{b}}\ge\frac{2}{a+b}\)
từ đó ta có : \(\frac{1}{\sqrt{k\left(2016-k\right)}}\ge\frac{2}{k+2016-k}\ge\frac{2}{2016}=\frac{1}{1008},\)với mọi \(k\in N^{\cdot}\)
Suy ra \(S_k\)\(\ge k.\frac{1}{1008}>k.\frac{1}{1018}\)(đpcm).
CHO :
\(S=\frac{1}{\sqrt{1.2015}}+\frac{1}{\sqrt{2.2014}}+\frac{1}{\sqrt{3.2013}}+..............+\frac{1}{\sqrt{2015.1}}\)
So sánh \(S\) với \(\frac{2.2014}{2015}\)
Với k thuộc N sao CMR:
\(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(\frac{1}{\sqrt{k}\left(k+1\right)}<2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(K=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{a-\sqrt{a}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}+\frac{2}{a-1}\right)\)
a, Rút gọn K
b, Tính giá trị của K khi \(a=3+2\sqrt{2}\)
c,Tìm giá trị của a sao cho K<0
Cho \(S=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+..+\frac{1}{\sqrt{k\left(k.1998-k+1\right)}}+\frac{1}{\sqrt{1998-1}}\)
Hãy so sánh S và \(2\frac{1998}{1999}\)
Giúp mình hiểu ý này vs
\(\frac{1}{\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\)
cho biểu thức
\(K=\)\(\left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3\left(\sqrt{x}+3\right)}{x-9}\right):\left(\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)\)
a. Tìm ĐKXĐ, rút gọn K
b. Tìm x để K< -1
c. Tìm x để K có GTNN, tìm GTNN đó
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có
\(\left(b+c\right)\sqrt[k]{\frac{bc+1}{a^2+1}}+\left(a+c\right)\sqrt[k]{\frac{ac+1}{b^2+1}}+\left(a+b\right)\sqrt[k]{\frac{ab+1}{c^2+1}}\ge6\)
Cho S=\(\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+......+\frac{1}{\sqrt{k\left(1998-k+1\right)}}+...+\frac{1}{\sqrt{1998.1}}\) hãy so sánh S và \(2\frac{1998}{1999}\)
