Question

Cho S=1+4^2+4^3+...+4^2004 .Chứng minh S chia hết cho 10 và 3S+4 chia hết cho 4^2004

Answer 1

CHỨNG MINH S CHIA HẾT CHO 10 :

\(S=4+4^2+...+4^{2004}\)

\(S=\left(4+4^2\right)+\left(4^3+4^4\right)+...+\left(4^{2003}+4^{2004}\right)\)

\(S=1\left(4+4^2\right)+4^3\left(4+4^2\right)+...+4^{2003}\left(4+4^2\right)\)

\(S=1.20+4^3.20+...+4^{2003}.20\)

\(S=20.\left(1+4^3+...+4^{2003}\right)\)CHIA HẾT CHO 10 (VÌ 20 CHIA HẾT CHO 10 )

\(=>dpcm\)

CHỨNG MINH 3S+4 CHIA HẾT CHO 4²⁰⁰⁴

^{\(S=4+4^2+4^3+...+4^{2004}\)}

\(4S=4+4^2+4^3+...+4^{2005}\)

\(3S=4S-S=4^{2005}-4\)

MÀ 4²⁰⁰⁵ CHIA HẾT CHO 4²⁰⁰⁴

^\(=>3S+4\)CHIA HẾT CHO \(4^{2004}\left(dpcm\right)\)

Answer 2

\(S=1+4^2+...+4^{2004}\)

\(4S=4+4^3+...+4^{2005}\)

\(\Rightarrow\)\(4S-S=4+4^3+...+4^{2005}-1-4^2-...-4^{2004}\)

\(\Rightarrow\)\(3S=\left(4^3-4^3\right)+...+\left(4^{2004}-4^{2004}\right)-\left(4^{2005}+4-1-4^2\right)\)

\(\Rightarrow\)