S có 30 số hạng . Nhóm thành 3 nhóm , mỗi nhóm 10 số hạng.
\(S=\left[\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40}\right]+\left[\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50}\right]+\left[\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60}\right]\)
\(S< \left[\frac{1}{30}+\frac{1}{30}+...+\frac{1}{30}\right]+\left[\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\right]+\left[\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\right]\)
\(S< \frac{10}{30}+\frac{10}{40}+\frac{10}{50}\)
\(S< \frac{37}{60}< \frac{48}{60}=\frac{4}{5}(1)\)
Lại có : \(S>\left[\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\right]+\left[\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\right]+\left[\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}\right]\)
\(S>\frac{10}{40}+\frac{10}{50}+\frac{10}{60}\)
\(S>\frac{37}{60}>\frac{36}{60}=\frac{3}{5}(2)\)
Từ 1 và 2 suy ra \(\frac{3}{5}< S< \frac{4}{5}\)
