Question

Cho S = 5 + 5^3 + 5^4 + 5^5 + 5^6 + ... + 5^2004. Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 và 31 ( 126 và 65 )

Answer 1

\(S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{2004}\)

\(S=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{2003}+5^{2004}\right)\)

\(S=5\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+...+5^{2003}\left(1+5\right)\)

\(S=5.6+5^3.6+...+5^{2003}.6\)

\(S=6\left(5+5^3+...+5^{2003}\right)\) chia hết cho 6 

Answer 2

S=5+5²+5³+5⁴+5⁵+...+5²⁰⁰⁴
S=(5+5⁴)+(5²+5⁵)+(5³+5⁶)+...+(5²⁰⁰⁰+5²⁰⁰⁴)
S=5x126+5²x126+5³x126+...+5²⁰⁰⁰x126
⇒S chia hết cho 126
        
S=5+5²+5³+5⁴+5⁵+...+5²⁰⁰⁴
có 65=13*5 mà tổng S chia hết cho 5 nha nên Cm S chia hết cho 13
tổng S có 2004 số số hạng được tách thành 2 phần: S=S₁+S₂
Với S₁=5+5³=130=65*2 nên S1 chia hết cho 65
S₂=5²+5³+5⁴+5⁵+...+5²⁰⁰⁴
(có 2002 số số hạng) mà 2002 chia hết cho 13 nên S2  chia hết cho 65
Vậy S chia hết cho 65

Answer 3

(2004-1):1+1=2004(số hạng)

Vì 2004=4.501 nên ta viết S thành 501 nhóm mỗi nhóm có 4 số hạng như sau:

S=(5+5^2+5^3+5^4)+...+(5^2001+5^2002+5^2003+5^2004)

S=5.(1+5+5^2+5^3)+...+5^2001.(1+5+5^2+5^3)

S=5.156+...+5^2001.156

S=5.26.6+...+5.26.6.5^2000

S=130.6+...+130.6.5^2000

S=130.(6+...+6.5^2000)

S chia hết cho 130 (ĐPCM)